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<region>DETERMINACI ON DE IMPUESTOS OPTIMOS POR CONTAMINACI ON AMBIENTAL:UN ENFOQUE DE OPCIONES REALES Claudia Estrella Castillo Ramírez ∗ Universidad del Valle de México, Campus Coyoacán Francisco Venegas-Martínez Instituto Politecnico Nacional, Escuela Superior de Economía Francisco López-Herrera Facultad de Contaduría y Administración, División de Ingeniería, UNAM (Recibido 6 de junio 2011, aceptado 20 de julio 2011) Resumen En este trabajo de investigación se determina en un juego de dos etapas el impuesto óptimo que debe pagar un consumidor que contamina el medio ambiente por el desecho de envolturas y recipientes de bienes de consumo. En la primera etapa el gobierno establece un umbral de contaminación y el consumidor determina el impuesto que está dispuesto a pagar por exceder dicho umbral. En la segunda etapa, el gobierno elige el nivel del umbral que maximiza su recaudación. Asimismo, se analiza el caso de los impuestos sobre contaminación cuando el desecho de la envoltura sigue un proceso de difusión con saltos y el tama no del salto es guiado por una distribución de valores extremos. También, se desarrolla un modelo para la determinación del impuesto cuando el nivel de contaminación presenta volatilidad estocástica.Por último se emplea el método de simulación Monte Carlo para aproximar el valor de un impuesto óptimo. Abstract In this investigation we determined the optimal tax in a game of two stages that must pay a consumer who contaminates the environment by the remainder of envelopes and containers of goods. In the first stage the government establishes a contamination threshold and the consumer determines the tax that is prepared to pay to exceed this threshold. In the second stage, the government chooses the level of the threshold that maximizes its collection. Also, in this work we analyzes the case of the taxes on contamination when the remainder of the envelope follows a process of diffusion with jumps and the size of the jump is guided by a distribution of extreme values. Also, a model is developed for determining the tax when the level of contamination present stochastic volatility. Finally the method of Monte Carlo simulation is used to approximate the value of an optimal tax. Clasificación JEL: E20, G58, Q53. Palabras clave: Consumo, Política Gubernamental, Residuos Sólidos. ∗ Universidad de Valle de México, Oficinas Corporativas Coyoacán. Edifico A. 3er piso. Calzada de Tlalpan 3058, Col. Santa Ursula Coapa. C.P. 04850, México, D. F. Tel.(55) 91 38 50 00 ext. 34963. Correo electrónico: E-mail: </region>

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<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>1. Introducción</region>

<region>Las opciones reales han cobrado recientemente un gran interés en teoría eco- nómica; ver por ejemplo: Strobel (2005) , Henderson y Hobson (2002) y Venegas-Martínez (2008) . El principal objetivo asociado con opciones reales es como valuar productos derivados sobre activos no negociables. Al respecto, es importante mencionar los dos libros clásicos sobre opciones reales: Dixit y Pindyck (1994) y Schwartz y Trigeorgis (2001) . En esta investigación el impuesto óptimo que un consumidor debe pagar por deteriorar el medio ambienteal desechar la envoltura de un bien genérico de consumo se valúa como una opción real. Un consumidor racional obtiene satisfacción de un bien que tiene una envoltura o recipiente. Esta envoltura tiene un costo en términos reales para el consumidor (lo cual reduce su nivel de su riqueza), no produce satisfacción, es desechada en el ambiente y no es biodegradable. Para reparar este efecto nega- tivo sobre el medio ambiente, el gobierno le cobrará al consumidor un impuesto por contaminación. Uno de los objetivos de la presente investigación consiste en obtener el impuesto óptimo, bajo algún criterio, que debe pagar dicho consumidor. En una actitud corresponsable por parte del gobierno para promover una cultura ambiental, se le permite al consumidor que él determine el impuesto que estaría dispuesto a pagar cuando sobrepasa un cierto umbral umbral que fija el gobierno. En un juego de dos etapas, el gobierno elegirá posteriormente el umbral que maximice el impuesto propuesto por el consumidor. Un hecho importante es que este impuesto está relacionado con la fórmula de valuación de una opción europea de compra de Black-Scholes-Merton. Asimismo se llevan a cabo ejercicios de estática comparativa, los cuales están relacionados con las griegas de una opción. 2.1 Características de la economía Considere una economía poblada por consumidores con preferencias y dota- ciones idénticas,cada uno de los cuales vive para siempre y desea maximizar su satisfacción por un bien genérico de consumo. 2.2 Supuestos El individuo representativo tiene acceso a un activo real, específicamente a un bono de precio b t libre de riesgo de incumplimiento que paga tasa fija r. Cuando el agente consume C t , desecha la envoltura E t , la cual no es consumible y reduce su riqueza a la tasa R E , ya que dicha envoltura tiene un costo para el individuo. Suponga que la tasa a la que se reduce la riqueza por las envolturas desechadas en el futuro es estocástica (el individuo no sabe cuantas envolturas va a desechar durante [t; T ]) y está dada por:</region>

<region>2. Impuesto por contaminación ambiental</region>

<region>Sea τ = τ (E t ; t; M ) el impuesto que el consumidor debe pagar en el presente, t, por el da no esperado en el medio ambiente durante el intervalo [t; T ]. Aquí, M representa el umbral de contaminación que fija el gobierno. En lo que sigue, para simplificar la notación, se omitirá el umbral M en τ y se escribirá simplemente τ = τ (E t ; t; M ). Asimismo, suponga que el rendimiento que paga el bono está dado por</region>

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<region>En vista de (2.2.1), la aplicación del lema de It o a τ = τ (E t ; t; M ) conduce a que el impuesto satisface:</region>

<region>donde μ τ ≡ ∂τ ∂t + ∂E ∂τ t μE t + 2 1 ∂E ∂ 2 τ t 2 σ 2 E t 2 τ 1 y ∂τ 1 σ τ = σE t . ∂E t τ El gobierno propone un umbral M de tal manera que al tiempo T el impuesto se calcula con base en el exceso al umbral max(E T − M ; 0) . Es decir, entre mayor sea el excedente del umbral, entonces mayor será el impuesto.</region>

<region>Es importante destacar que E T es una variable aleatoria tal que √ E T = E t exp (r − 1 2 σ 2 )(T − t) + σ T − t E , donde E ∼ N (0, 1) con función de densidad φ( ) = √ 1 e − 1 2 2 , ∈ R. 2π</region>

<region>2.3 Problemas de decisión del consumidor Sea w 1t = E t /a t la proporción de la riqueza que el individuo destinada a envolturas, w 2t = τ t /a t la proporción de la riqueza que asigna al pago del impuesto, y 1 − w 1t − w 2t la fracción complementaria que se asigna a un instru- mento libre de riesgo que paga un rendimiento r constante a cualquier plazo. En este caso, el agente desea resolver el siguiente problema:</region>

<region>T −δs Maximizar E u(C t )e ds + b(a T , T ) F 0 , C t ,w 1t ,w 2t 0 sujeto a: da t = a t w 1t dR E + a t w 2t dR τ + a t (1 − w 1t − w 2t )dR b − C t dt, (2.3.1.)</region>

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<region>donde: C t es consumo, u(C t ) = C s γ /γ, γ = 0. es la función de utilidad, δ es la tasa subjetiva de descuento, F t es la información relevante (precios) al tiempo t y b(a T , T ) = a T γ γ e −δT es una herencia o un término de salvamento. En este caso, δ < 1 asegura la estricta concavidad de la función de utilidad y el grado relativo de aversión al riesgo satisface</region>

<region>u (c t ) 1 G r = = . u (c t )c t 1 − γ</region>

<region>Después de sustituir (2.2.1),(2.2.2) y (2.2.3) en la restricción presupuestal, dada en (2.3.1), se tiene que</region>

<region>Si se define (la función de utilidad indirecta) J(a t , t) = max E T C s γ e −δs ds + b(a T , T ) F t , C t ,w 1t ,w 2t t γ se sigue por la recursividad de J(a t ; t) y el teorema del valor medio del cálculo integral, que J(a t , t) = max E t+dt C s γ e −δs ds + T C s γ e −δs ds + b(a T , T ) F t C t ,w 1t ,w 2t t γ t+dt γ = max E t+dt C s γ e −δs ds + J(a t + da t , t + dt) F t C t ,w 1t ,w 2t | [t,t+dt] t γ γ = max E C t e −δt dt + o(dt) + J(a t , t) + dJ(a t , t) F t . C t w 1t ,w 2t | [t,t+dt] γ Observe que también que J(a T , T ) = b(a T , T ). En virtud del lema de It o, aplicado a J = J(a t , t) se tiene que γ 0= max E C t e −δt dt + o(dt) C t ,w 1t ,w 2t γ</region>

<region>+ 1 2 J aa a t 2 (w 1t σ + w 2t σ τ ) 2 dt + J a a t (w 1t σ + w 2t σ τ )dW t F t .</region>

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<region>Si se toman esperanzas de los términos dentro del paréntesis y, posteriormente, se divide entre dt y se toma el límite cuando dt → 0, se sigue que γ 0= max C t e −δt + J t + J a a t r + (μ − r)w 1t + (μ τ − r)w 2t − C t C t ,w 1t ,w 2t γ a t</region>

<region>+ 1 2 J aa a 2 t (w 1t σ + w 2t σ τ ) 2 . (2.3.4) Considere un candidato de la forma −δt J(a t , t) = V (a t )e , entonces −δt −δt −δt J a = V (a t )e , J aa = V (a t )e y J t = −δV (a t )e . Ahora bien, si C t , w 1t y w 2t son óptimos, se tiene que</region>

<region>+ 2 1 V (a t )a t 2 (w 1t σ + w 2t σ τ ) 2 . Suponga que γ V (a t ) = β a t , γ entonces (γ−1) (γ−2) V (a t ) = βa t y V (a t ) = β(γ − 1)a t . De esta manera, la ecuación (2.3.3) se transforma en</region>

<region>+ 1 2 β(γ − 1)a t γ (w 1t σ + w 2t σ τ ) 2 . Al derivar la expresión anterior con respecto de C t , w 1t y w 2t , se obtienen, respectivamente:</region>

<region>γ γ βa t (μ − r) + β(γ − 1)a t (w 1t σ + w 2t σ τ )σ = 0 y γ γ βa t (μ τ − r) + β(γ − 1)a t (w 1t σ + w 2t σ τ )σ τ = 0. Estas tres ecuaciones se pueden reescribir como: C t = β 1/(γ−1) a t ,</region>

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<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>y</region>

<region>La ecuación (2.3.8) dice que el consumo es proporcional a la riqueza. Como puede observarse, infortunadamente, la trayectoria de consumo ya no puede ser determinada porque el consumo se convierte en variable aleatoria, situación que está más acorde con la realidad. En consecuencia, la consideración del riesgo conlleva a cambios cualitativos y cuantitativos drásticos en las decisiones de consumo, portafolio y elección del impuesto por contaminación. Por otro lado, las dos últimas ecuaciones implican que</region>

<region>Después de sustituir μ τ y σ τ , definidas en (2.2.3), en la ecuación anterior se tiene que ∂τ ∂t + ∂E ∂τ t μE t + 2 1 ∂E ∂ 2 τ t 2 σ 2 E t 2 − rτ = (μ − r) ∂E ∂τ t E t , lo cual conduce a la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes: ∂τ ∂t + ∂E ∂τ t rE t + 1 2 ∂E ∂ 2 τ t 2 σ 2 E t 2 − rτ = 0,</region>

<region>junto con las condiciones de frontera τ (0, t) = 0 y τ (E t , T ) = max(E t − M, 0). Estas condiciones indican que si el individuo no contamina, entonces no paga impuesto, y que si contamina por arriba del umbral, entonces paga un impuesto igual al diferencial. La solución de la ecuación diferencial parcial anterior es</region>

<region>donde la función Φ(d) es la función de distribución acumulada de E ∼ N (0, 1), es decir,</region>

<region>y ln E M t + (r − 2 1 σ 2 )(T − t) √ q 2 = q 2 (E t , t; T, M, r, σ) = √ = q 1 − σ T − t. σ T − t (2.3.14)</region>

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<region>Se pueden contar dos historias: 1) El individuo conoce la tendencia y la volatilidad de la tasa a la que va a contaminar. El gobierno le pide que dada esa tasa, el individuo determine el impuesto que está dispuesto a pagar por anticipado a fin de que el gobierno uti- lice esos recursos para tomar una acción inmediata y darle un manejo adecuado a los residuos sólidos desde el momento en que empieza la contaminación. Esto, en virtud de que el gobierno no va esperar a que el ambiente este contaminado para tomar alguna medida. 2) Nadie paga impuestos anticipados por contaminación; primero se contamina y luego se paga el impuesto; aunque el ambiente ya esté contaminado (entonces la reacción del gobierno sería tardía). En otras palabras ya para que! Como el individuo pagará el impuesto en T , es necesario llevar entonces a τ a valor futuro. Así que el impuesto consistirá en τ = τ e r(T −t) . En cualquier caso, la diferencia entre un impuesto hoy y un impuesto futuro difieren en un factor constante.</region>

<region>2.4 Comportamiento del gobierno Posteriormente, el gobierno elige M de tal manera que resuelva el problema</region>

<region>Para ello, se obtiene ∂τ = e −r(T −t) E t Φ (q 1 ) ∂q 1 − Φ(q 2 ) − M Φ (q 2 ) ∂q 2 . ∂M ∂M ∂M Observe que a partir de (2.4.1), se obtiene que ∂q 1 ∂q 2 = , ∂M ∂M en consecuencia ∂τ −r(T −t) ∂q 1 = e E t Φ (q 1 ) − M Φ (q 2 ) − Φ(q 2 ). ∂M ∂M Ahora bien, en virtud de que e −r(T −t) E t Φ (q 1 ) − M Φ (q 2 ) = 0,</region>

<region>se sigue que ∂τ = −Φ(q 2 ) < 0. ∂M Es decir, τ es una función decreciente de M . Por lo tanto, la elección óptima de M es cero. En otras palabras, en el momento en que el agente inicie el consumo y, en consecuencia, comience a contaminar se hará sujeto del impuesto. 2.5 Impuesto por contaminación extrema Considere una economía poblada con agentes idénticos de vida infinita y en la que se produce y consume un solo bien de carácter perecedero. Los agentes toman decisiones de consumo y tienen que determinar el impuestos por contaminación que están dispuestos a pagar dado un cierto umbral, posteriormente el gobierno elige un umbral de contaminación permitida que maximiza la recaudación. Los supuestos pricipales sobre el comportamiento de los agentes se detallan a continuación. 2.6 Dinámica de la contaminación Los agentes contaminan con una dinámica estocástica determinada por una combinación de un movimiento Browniano con un proceso de saltos de Poisson, en donde el tama no del salto es modelado por una distribución de valores extremos, en particular, por una distribución del tipo de Fréchet. Esto es,</region>

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<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>donde μ ∈ R, σ > 0, (W t ) t≥0 es un movimiento Browniano definido sobre un espacio de probabilidad fijo (Ω, F, IP W ) y dN t es un proceso de Poisson con parámetro de intensidad δ. A continuación se describen en detalle las características de la componente de saltos en la ecuación (2.6.8). El tama no del salto, hacia arriba, está dado por</region>

<region>donde Y es una variable aleatoria de Fréchet con parámetros α, ν y κ. En este caso, la función de distribución acumulada de Y está dada por</region>

<region>La función de densidad correspondiente satisface:</region>

<region>Observe, en particular, que si α > 2, entonces 1 E [Y ] = ν + κμ 1 − α y Var [Y ] = κ 2 μ 1 − 2 − μ 2 1 − 1 . α α</region>

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<outsider>101</outsider>

<region>Por otro lado , el proceso de Poisson dN t con intensidad δ satisface IP N {exactamente un salto de tama no 1 durante dt} = IP N {dN t = 1} = δdt</region>

<region>y IP N {má s de un salto durante dt} = IP N {dN t > 1} = o(dt), así que IP {ningú n salto durante dt} = 1 − δdt + o(dt), N donde o(dt)/dt → 0 cuando dt → 0. Como se comentó anteriormente, es fácil incorporar saltos hacia abajo a nadiendo un segundo proceso de Poisson en (1) multiplicado por una distribución del tipo Weibull. No obstante, por simplicidad, sólo se lleva a cabo el análisis para saltos hacia arriba. 2.7 Impuesto sobre contaminación El consumidor representativo por el nivel de contaminación E t está dispuesto a pagar un impuesto de monto τ = τ (E t , t). El consumidor tiene acceso a un bono de precio, b t . El bono paga una tasa de interes constante libre de riesgo r (i.e., paga r unidades del bien de consumo por unidad de tiempo). Así, la riqueza real del consumidor, a t , está dada por</region>

<region>donde a 0 es determinada de manera exógena.</region>

<region>2.8 Problemas de decisión del consumidor-inversionista En el transcurso de la presente sección se establece el problema de decisión intertemporal de un consumidor racional y adverso al riesgo. A continuación se establece la restricción presupuestal de un consumidor representativo. Observe, primero, que la tasa de contaminación, dR = E dE t /E t , está dada por</region>

<region>Asimismo, el lema de It o aplicado al impuesto τ (E t , t) conduce a dτ = ∂τ ∂t + ∂E ∂τ t μE t + 1 2 ∂E ∂ 2 τ t 2 σ 2 E t 2 dt ∂τ + σE t dW t + [τ (E t (φ + 1), t) − τ (E t , t)] dN t ∂E t ó</region>

<region>donde μ τ = τ 1 ∂τ ∂t + ∂E ∂τ t μE t + 2 1 ∂E ∂ 2 τ t 2 σ 2 E t 2 ,</region>

<outsider>102</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>1 ∂τ σ τ = τ ∂E t σE t y 1 φ τ = τ [τ (E t (φ + 1), t) − τ (E t , t)] . En este caso, la ecuación diferencial estocástica de la riqueza real acumulada en términos del portafolio, w 1t = E t /a t , w 2t = τ t /a t , 1 − w 1t − w 2t = b t /a t y consumo, C t , está dada por:</region>

<region>da t = a t w 1t dR E + a t w 2t dR τ + a t (1 − w 1t − w 2t )rdt − C t dt, con a 0 determinada exógenamente. Ahora bien, note que la restricción presupuestal puede ser escrita como: C t da t =a t r + (μ − r)w 1t + (μ τ − r)w 2t − a t dt (2.8.3) + (w 1t σ + w 2t σ τ )dW t + (w 1t φ + w 2t φ τ )dN t .</region>

<region>2.9 Indice de utilidad La función de utilidad, v 0 , de tipo de von Neumann-Morgenstern al tiempo t = 0 de un consumidor adverso al riesgo se supone de la forma</region>

<region>donde E 0 es la esperanza condicional sobre la información disponible al tiempo t = 0. Para evitar que la dinámica del consumo sea compleja de examinar, se supone que la tasa subjetiva de descuento del agente es constante e igual a r. 2.10 Condiciones de primer orden La ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de control óptimo estocástico proveniente de maximizar la función de utilidad sujeta a su restricción presupuestal está dada por</region>

<region>max H(w 1t , w 2t , C t ; a t , t) w 1t ,w 2t ,C t ≡ w 1t max ,w 2t ,C t log(C t )e −rt + I a (a t , t)a t r + (μ − r)w 1t + (μ τ − r)w 2t − C a t t + I t (a t , t) + 1 2 I aa (a t , t)a t 2 (w 1t σ + w 2t σ τ ) 2 + δE φ I a t (w 1t φ + w 2t φ τ + 1), t − I(a t , t) = 0, (2.10.1)</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>103</outsider>

<region>donde ∞ −rs I(a t , t) = E t log(c s ) e ds . t Las condiciones de primer orden para una solución interior son: H C t = 0, H w 1t = 0 y H w 2t = 0. Se postula I(a t , t) como una función en variables separables, t y a t , dada por: −rt I(a t , t) = e [β 1 log(a t ) + β 0 ],</region>

<region>donde β 0 y β 1 se determinan a partir de (2.10.1). En virtud de lo anterior, la ecuación (2.10) se transforma en</region>

<region>max H(w 1t , w 2t , C t ; a t , t) w 1t ,w 2t ,C t C t ≡ w 1t max ,w 2t ,C t log(C t ) + β 1 r + (μ − r)w 1t + (μ τ − r)w 2t − a t − r[β 1 log(a t ) + β 0 ] − 2 1 β 1 (w 1t σ + w 2t σ τ ) 2 + δβ 1 E φ [log(w 1t φ + w 2t φ τ + 1)] = 0.</region>

<region>Si ahora, se calculan las condiciones de primer orden para w 1t y w 2t , intercam- biando el orden de las derivadas parciales de las variables con el operador de esperanza, se encuentra que δφ E φ w 1t φ + w 2t φ τ + 1 + μ − r = (w 1t σ + w 2t σ τ )σ y δφ E φ w 1t φ + w 2t τ φ τ + 1 + μ τ − r = (w 1t σ + w 2t σ τ )σ τ . Evidentemente, el consumo óptimo es proporcional al nivel de la riqueza en cada instante, es decir, C t ∝ a t . 2.11 Caracterización del impuesto En esta sección se caracteriza el impuesto óptimo a través de una ecuación diferencial integral. Si se supone una solución de esquina, es decir, w 1t = 1 y w 2t = 0, entonces las condiciones de primer orden se transforman en:</region>

<region>y</region>

<outsider>104</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>A partir de (2.11.2) se tiene que τ (E t (φ + 1), t) − τ (E t , t) δE φ φ +1 + ∂τ ∂t + ∂E ∂τ t μE t + 1 2 ∂E ∂ 2 τ t 2 σ 2 E t 2 − rτ = ∂E ∂τ t σ 2 E t . Si ahora, se sustituye (2.11.1) en la expresión anterior, se obtiene</region>

<region>En lo que sigue se consideran las siguientes condiciones de frontera τ (0, t) = 0 y τ (E t , t) = max(E t − K, 0) donde K es el umbral de contaminación seleccionado por el gobierno. Note que si f φ (.) es la función de densidad de φ, la presencia en (2.11.3) del valor esperado</region>

<region>∞ τ (E t (φ + 1), t) − τ (E t , t) τ (E t (φ + 1), t) − τ (E t , t) E φ = f φ (φ)dφ, φ +1 −∞ φ +1</region>

<region>hace que (2.11.3) sea una ecuación diferencial-integral en la variable τ . Observe también que si φ es constante en (2.11.3) y si se redefine δ como δ/(φ + 1), se obtiene la ecuacion diferencial de Merton (1976). Finalmente, se destaca que cuando φ = 0 ó δ = 0, la ecuación (2.11.3) se reduce a la ecuación diferencial parcial parabólica de segundo orden de Black-Scholes (1973). Ahora bien, si se considera el siguiente cambio de variable</region>

<region>−α y − ν u = k</region>

<region>entonces uno de los valores esperado que aparece en la ecuación (2.11.2) satisface</region>

<region>φ X −α E = E φ +1 X −α +1 ∞ u −u = e du 0 u +1 = eΓ(−1, 1).</region>

<region>donde Γ = (−1, 1) = Γ(0, 1) + e −1 y Γ(., .) es la función superior Gamma incompleta. La Gráfica 2 muestra el comportamiento de la función Γ(0, 1/w). Se puede demostrar fácilmente que Γ(0, 0) = ∞, Γ(0, ∞) = 0 y Γ(0, 1) ∼ 2/9 (de hecho, Γ(0, 1) = 0.219383934...). Por lo tanto, la ecuación (2.11.3) se transforma en</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>105</outsider>

<region>δE φ τ (E t (φ + φ 1), +1 t) − τ (E t , t) + ∂τ ∂t + 1 2 σ 2 E t 2 ∂E ∂ 2 τ t 2 σ 2 E t 2 ∂τ 2 + E t [(r + δ( e − 1)] − rτ = 0. ∂E t 9 2.12 Solución analítica del impuesto</region>

<region>Con el propósito de determinar el precio τ = (E t ; t) , se dene una sucesión de variables aleatorias {x n } = n∈N asociadas a la distribución del producto de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas como φ + 1 con x 0 = 1. En otras palabras, si {φ n } n∈N es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, se define x n = Π n k=1 (φ k + 1), n ∈ N . En este caso, la solución de la ecuación (2.11.3) con condiciones de frontera</region>

<region>τ = (0, t) = 0; y τ (E t ; 0) = max(E t − K, 0) está dada por τ (E t , t) = ∞ E φ E x n e −δ(T −t)/(φ+1) [δ(T n! − t)/(φ + 1)] n τ BS (E t x n e −δE φ [φ/φ+1](T −t) , t) , n=0 (2.12.1) donde φ es estocásticamente independiente de {φ n } n∈N y τ BS (., .) es la solución básica de Black-Scholes (1973). En efecto, considere</region>

<region>donde e −δ(T −t)/(φ+1) [δ(T − t)/(φ + 1)] n q n,t = n! U n,t = x n e −δE φ [φ/(φ+1)](T −t) y (n) τ BS = τ BS (E t U n,t , t). En lo que sigue es conveniente, para simplificar los cálculos, introducir la siguiente notación: Q n,t = E t U n,t . En tal caso,</region>

<outsider>106</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>y</region>

<region>∞ (n) ∂τ = δE φ [φ/(φ + 1)] E φ E n x q n,t Q n,t ∂τ BS ∂t ∂Q nt n=0</region>

<region>En virtud de las ecuaciones (2.12.3), (2.12.4) y (2.12.5), se sigue que</region>

<region>∞ (n) ∂τ = δE φ [φ/(φ + 1)]E t ∂τ + E φ E n x q n,t ∂τ BS + δE φ τ (E t , t) ∂t ∂E t ∂Q nt φ +1 n=0 − δ ∞ E φ E x m+1 e −δ(T −t)/(φ+1) [δ(T − t)/(φ + 1)] m τ BS (m+1) . . m! φ +1 m=0 (2.12.6) Observe ahora que el último término de la ecuación anterior puede ser reescrito como:</region>

<region>ya que Q n+1,t y Q n,t (1 + φ) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Por lo tanto, la ecuación (2.12.6) puede expresarse como:</region>

<region>∂τ ∂t = ∞ E φ E xn q n,t ∂τ ∂t BS (n) − δE φ   τ (E t (φ + 1), t) − φ +1 τ (E t , t) − φE t ∂E ∂τ t   . n=0 (2.12.8)</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>107</outsider>

<region>A partir de (2.12.2), (2.12.3) y (2.12.7), se obtiene</region>

<region>Finalmente, en virtud de que ∂τ (n) ∂ 2 τ (n) ∂τ (n) ∂t BS + 1 2 σ 2 Q n,t 2 ∂Q BS 2 n,t + rQ n,t ∂Q BS n,t − rτ BS (n) = 0, se cumple para toda n ∈ IN ∪ {0}, se deduce inmediatamente que (2.12.1) es la solución de (2.11.3). 3. Impuesto por contaminación con volatilidad estocástica 3.1 Introducción</region>

<region>En esta sección se obtiene, a través de agentes racionales maximizadores de utilidad, la ecuación diferencial parcial que caracteriza el impuesto sobre un contaminante cuando su volatilidad es estocástica. En particular, se supone que la volatilidad es conducida por un movimiento geométrico Browniano. Se supone que los agentes tienen acceso a un bono libre de riesgo de incumplimiento que paga tasa fija.</region>

<region>3.2 Planteamiento del problema de determinación del impuesto por contaminación</region>

<region>Se supone que el nivel de contaminación, E t , sigue un movimiento geométrico Browniano, cuya volatilidad al cuadrado (la varianza), σ t 2 = V t , es conducida por otro movimiento geométrico Browniano, es decir,</region>

<region>dE t = μE t dt + σ t E t dW t , (3.2.1) dV t = αV t dt + βV t dZ t ,</region>

<region>donde μ ∈ IR es el parámetro de tendencia del nivel de contaminación, α ∈ IR es la tendencia de la varianza y β > 0 es la volatilidad de la varianza, las cuales son cantidades conocidas. Asimismo, se supone que los movimientos Brownianos dW t y dZ t están correlacionados entre sí, de tal forma que</region>

<outsider>108</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>Considere un bono libre de riesgo de incumplimiento que paga una tasa constante r. El bono también puede verse como un depósito bancario que paga tasa r. Como siempre, se supone que el impuesto por contaminación, τ , depende de las variables de estado, esto es, τ = τ (E t , V t , t). En lo subsecuente, a t denotará la riqueza real del agente al instante t. La ecuación de evolución de la riqueza real (restricción presupuestal) está dada por</region>

<region>donde dR E = dE t /E t y dR τ = dτ /τ . Es importante destacar la diferencia entre τ y C t , el primer caso se refiere al i</region>

<region>y</region>

<region>Ahora bien, en virtud de (1) y (2), la ecuación de evolución de la riqueza se puede reescribir como:</region>

<region>+ a t (w 1t σ t + w 2t σ τ )dW t + a t w 2t ξ τ dZ t .</region>

<region>En lo que sigue, la función de utilidad (satisfacción) del agente por el consumo de un bien genérico, C t , se denotará mediante u(C t ). Suponga que la función de utilidad indirecta, o bienestar económico, del individuo está dada por:</region>

<region>sujeta a la ecuación (3.2.6). El parámetro δ > 0 determina la tasa subjetiva de descuento del individuo, F t denota la información relevante disponible al tiempo t y b(a T , T ) representa la función de legado (herencia o salvamento) en T . Observe que también T representa la fecha de pago del impuesto. Por último, se supone que u(·) satisface u > 0 y u < 0, es decir, la función de utilidad es estrictamente creciente y cóncava. En otras palabras, la utilidad marginal es positiva pero decreciente. A continuación se emplean varias formas funcionales de la función de utilidad para obtener la ecuación diferencial parcial que caracteriza el impuesto por contaminación.</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>109</outsider>

<region>3.3 Función de utilidad con coeficiente constante de aversión al riesgo</region>

<region>En esta sección se supone que la función de utilidad tiene la siguiente forma</region>

<region>y que el término de legado es</region>

<region>donde γ es el parámetro de aversión al riesgo. Observe que si γ = 1 el individuo es neutral al riesgo, mientras que si 0 < γ < 1, el individuo es adverso al riesgo. El caso γ = 0 corresponde a la función de utilidad logarítmica, la cual se estudiará más adelante. Para resolver el problema (3.2.7), con la función de utilidad de (3.2.8), se utilizará la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Es decir, la función J = J(a t , V t , t), expresada en (3.2.7), debe satisfacer la siguiente ecuación diferencial parcial de segundo orden: γ 0= max C t e −δt + ∂J + ∂J a t r + (μ − r)w 1t + (μ τ − r)w 2t − C t {w 1t ,w 2t ,C t } γ ∂t ∂a t a t + 2 1 ∂ ∂a 2 J 2 t a 2 t (w 1t σ t + w 2t σ τ ) 2 + w 2t 2 ξ τ 2 + 2(w 1t σ t + w 2t σ τ )w 2t ξ τ ρ + ∂V ∂J t αV t + 1 2 ∂V ∂ 2 J t 2 β 2 V t 2 + ∂a ∂ t 2 ∂V J t a t βV t [(w 1t σ t + w 2t σ τ )ρ + w 2t ξ τ ] . (3.3.3) Al igualar a cero las derivadas parciales de (3.3.3) con respecto de C t , w 1t y w 2t , se obtienen las siguientes condiciones necesarias para un máximo:</region>

<outsider>μ τ</outsider>

<region>y ∂ 2 J − r = − (w 2t σ τ + w 1t σ t )σ τ + w 2t ξ τ 2 + (w 1t σ t + w 2t σ τ )ξ τ ρ + w 2t σ τ ξ τ ρ a t ∂a ∂J 2 t ∂a t ∂ 2 J − (ρσ τ + ξ τ )βV t ∂a ∂J t ∂V t . ∂a t (3.3.6)</region>

<outsider>110</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>Se propone un candidato de solución de la forma:</region>

<region>el cual separa variables (multiplicativamente). La función g(V t , t) es conocida como el coeficiente del premio al riesgo. Este nombre se justifica a continuación. Observe primero que a partir de (3.3.7), se sigue que</region>

<region>∂J = e −δt g(V t , t)a tγ−1 , ∂a t ∂ ∂a 2 J t 2 = (γ − 1)e −δt g(V t , t)a tγ−2 y ∂ 2 J = e −δt ∂g a t γ−1 . ∂a t ∂V t ∂V t En virtud de estas ecuaciones, el coeficiente de aversión al riesgo, satisface ∂ 2 J −a t ∂a t 2 = 1 − γ = −C t u (C t ) , ∂J u (C t ) ∂a t</region>

<region>en donde −C t u (C t )/u (C t ) es la elasticidad de la utilidad marginal (coeficiente relativo de aversión al riesgo). Además,</region>

<region>∂ 2 J ∂g ∂a ∂J t ∂V t = g(V ∂V t , t t) = V 1 t ∂V ∂g t V g t = V 1 t ε g,V , ∂a t</region>

<region>en donde ε g,V es la elasticidad de g con respecto de V t . Para obtener la ecuación diferencial parcial que determina el impuesto por contaminación se requiere una solución de esquina. Al sustituir w 1t = 1 y w 2t = 0 en las ecuaciones (3.3.4), (3.3.5) y (3.3.6), éstas se transforman, respectivamente, en:</region>

<region>y</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>111</outsider>

<region>En particular, los “premios” al riesgo para el nivel de contaminación y el impuesto están dados por las ecuaciones: ∂g</region>

<region>y ∂g λ τ = μ τ − r = 1+ ξ τ ρ (1 − γ)σ t − ρ + ξ τ βV t ∂V t . σ τ σ τ σ τ g(V t , t) A partir de las ecuaciones anteriores se puede concluir que ξ τ ξ τ βV t ∂g λ τ = λ E + ρ(1 − γ)σ t − , σ τ σ τ g ∂V t la cual conduce a</region>

<region>+ 1 2 ∂V ∂ t τ 2 β 2 V t 2 + ∂E ∂ t ∂V τ t βV t 3/2 E t ρ = 0, junto con la condición de frontera τ (E t , V t , T ) = max(E t − K, 0). Asimismo, la ecuación (3.3.3) se simplifica si se sustituye el candidato de solución J y la solución de esquina w 1t = 1 y w 2t = 0, en cuyo caso se obtiene 0= g γ/(γ−1) − δ g + 1 ∂g + μg − g γ/(γ−1) + 1 (γ − 1)V t g γ γ γ ∂t 2</region>

<region>+ 1 β 2 V t 2 ∂ 2 g , 2 γ ∂V t 2 donde se ha utilizado que C t = [g(V t , t)] 1/(γ−1) a t y ∂J = −δg + ∂g e −δt a t γ . ∂t ∂V t γ De esta manera, la ecuación (3.3.13) se transforma en 0 = − ∂g + (γ − 1)g γ/(γ−1) + (δ − μγ) − 1 γ(γ − 1)V t g ∂t 2</region>

<outsider>112</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>La condición de frontera, en este caso, es g(V t , T ) = 1, lo cual asegura que se satisfaga el valor del legado en (3.3.2). Como puede observarse, se requiere la solución de (3.3.14), g = g(V t , t), a fin de sustituirla en (3.3.13) y poder resolver esta última en τ (E t , V t , t). La ecuación (3.3.12) indica cómo ajustar el proceso estocástico que sigue el nivel de contaminación, dado en la ecuación (3.21). En este caso,      dE dV t t = = rE αV t dt t − + βV σ t t E ρ(1 t dW − t γ)σ , t + β 2 g V t 2 ∂V ∂g t dt + βV t dZ t . Considere de nuevo un consumidor racional con vida infinita maximizador de utilidad. Se supone una función de utilidad logarítmica, lo cual conduce a que el consumidor es adverso al riesgo. Como antes, se supone que el consumidor tiene acceso a un activo libre de riesgo (de incumplimiento), por ejemplo un bono cupón cero. Se supone que la función de utilidad esperada al tiempo t de un individuo representativo y competitivo tiene la siguiente forma:</region>

<region>3.4 Función de utilidad logarítmica</region>

<region>donde δ es la tasa subjetiva de descuento y F t es la información disponible al tiempo t. El consumidor representativo posee un título de deuda de precio b t . El impuesto por contaminación se denota mediante τ (E t , V t , t). En consecuencia, la riqueza real, a t , del individuo está dada por:</region>

<region>De esta manera, la evolución de la acumulación de la riqueza real sigue la ecuación diferencial estocástica de la forma</region>

<region>donde dR E es el rendimiento del activo con riesgo, dR τ es la tasa de cambio instantánea del impuesto por contaminación y dR b = rdt es el rendimiento del bono. Es importante distinguir entre las cantidades τ = τ (E t , V t , t) y C t , la primera representa el impuesto por contaminación y la segunda el consumo. Suponga que</region>

<region>donde μ ∈ IR, σ t ≥ 0 y {W t } t≥0 es un movimiento Browniano definido so- W W bre un espacio fijo de probabilidad equipado con una filtración (Ω , F ,W W {F t } t≥0 , IP ) y</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>113</outsider>

<region>donde V t = σ t 2 , α > 0, β > 0 y {Z t } t≥0 es un movimiento Browniano definido Z Z sobre un espacio fijo de probabilidad equipado con una filtración (Ω , F ,Z Z {F t } t≥0 , IP ). Suponga que</region>

<region>Cov(dW t , dZ t ) = ρdt.</region>

<region>Durante el intervalo de tiempo [t, t + dt], el nivel de contaminación cambia de E t a E t + dE t , en consecuencia, el impuesto cambia de τ (E t , V t , t) a τ + dτ . El cambio marginal en el impuesto se obtiene mediante el lema de It o como:</region>

<region>dτ = ∂τ ∂t + ∂E ∂τ t μE t + ∂V ∂τ t αV t + 2 1 σ t 2 S t 2 ∂S ∂ 2 τ 2 + 2 1 β 2 V t 2 ∂V ∂ 2 τ 2 +σ t βE t V t ρ ∂E ∂ t 2 ∂V τ t dt t t + ∂Et ∂τ σ t E t dW t + ∂Vt ∂c βV t dZ t ó dτ = μ τ τ dt + σ τ τ dW t + ξ τ τ dZ t , donde</region>

<region>y</region>

<region>Si se sustituye (3.4.4) y la ecuación anterior a (3.4.6) en (3.4.3), se tiene que</region>

<region>+ a t [(σ t w 1t + σ τ w 2t ) dW t + w 2t ξ τ dZ t ] . Sea J(a t , V t , t) = max E T ln(C s )e −δs ds + ln(a T ) e −δT F t . C t ,w 1t ,w 2t t δ</region>

<region>La condición necesaria del problema de control óptimo estocástico en el que el consumidor racional desea maximizar la utilidad total queda expresado como:</region>

<region>0 = ln(C t )e −δt + J t + J a a t r + (μ − r)w 1t + (μ τ − r)w 2t − C t a t + 2 1 J aa a 2 t (σ t w 1t + σ τ w 2t ) 2 + ξ τ 2 w 2t 2 + 2 (σ t w 1t + σ τ w 2t ) ξ τ w 2t ρ + J V αV t + 2 1 J V V β 2 V t 2 + J aV a t V t β [(σ t w 1t + σ τ w 2t )ρ + ξ τ w 2t ] .</region>

<outsider>114</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>Considere el siguiente candidato de solución 1 −δt J(a t , V t , t) = [ln(a t ) + g(V t , t)] e . δ En este caso, se sigue que g(V t , T ) = 0. Asimismo, 1 ∂g 0 = ln(C t ) − [ln(a t ) + g(V t , t)] + δ ∂t 1 C t + r + (μ − r)w 1t + (μ τ − r)w 2t − δ a t − 1 (σ t w 1t + σ τ w 2t ) 2 + ξ τ 2 w 2t 2 + 2 (σ t w 1t + σ τ w 2t ) ξ τ w 2t ρ 2δ + α δ ∂V ∂g t V t + β 2δ 2 ∂V ∂ 2 t g 2 V t 2 . Las condiciones de primer orden son</region>

<region>μ − r = (σ t w 1t + σ τ w 2t ) σ t + ξ τ w 2t σ t ρ y</region>

<region>Las dos últimas condiciones se pueden reescribir como</region>

<region>y λ τ ≡ μ τ − r = σ t w 1t + σ τ w 2t + w 2t ξ τ 2 + (σ t w 1t + σ τ w 2t ) ρ ξ τ + w 2t ξ τ ρ. σ τ σ τ σ τ Al sustituir (3.4.12) en la expresión anterior, se tiene que</region>

<region>Si w 2t = 0 y w 1t = 1, entonces</region>

<region>Después de sustituir (3.4.6), (3.4.7) y (3.4.8) en la ecuación anterior, se obtiene</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>115</outsider>

<region>donde λ ≡ λ E ρ. Si se sustituyen w 1t = 1 y w 2t = 0 en la condición HJB, se tiene que 0 = log(δ) − g + δ 1 ∂g ∂t + μ δ − 1 − 2δ 1 σ t 2 + α δ ∂V ∂g t V t + 2δ 1 ∂V ∂ 2 t g 2 β 2 V t 2 . Ahora bien, en virtud de (3.33), se sigue que σ t 2 = μ − r. De esta manera, 0 = δ[log(δ) − 1] + 1 2 (μ + r) − δg + ∂g ∂t + α ∂V ∂g t V t + 1 2 ∂V ∂ 2 t g 2 β 2 V t 2 junto con la condición de frontera g(V t , T ) = 0. La solución de esta ecuación diferencial parcial es independiente de V t y está dada por g(t) = A − Ae −δ(T −t) , donde 1 A = log(δ) − 1 + (μ + r). 2δ Observe que g satisface dg = δg − δA dt y g(T ) = 0.</region>

<region>4. Métodos númericos para aproximar impuestos óptimos 4.1 Introducción Para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales se requiere de métodos númericos. Una alternativa para encontrar soluciones numéricas consiste en utilizar los llamados métodos de diferencias finitas. En la literatura sobre análisis numérico existen muchos métodos de diferencias finitas para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas. En este capítulo se presentan varios de estos métodos destacando sus ventajas y limitaciones. En lo sucesivo se estudiarán métodos de solución numérica hacia atrás (“backward”) en el tiempo. La diferencia con los métodos hacia adelante (“forward”) es simplemente un cambio de signo en la variable tiempo. La razón para con- siderar el tiempo hacia atrás es que las ecuaciones diferenciales parciales que caracterizan los impuestos óptimos tienen asociada una condición final. En los métodos de diferencias finitas es muy frecuente utilizar una malla regular en donde los nodos están igualmente espaciados en intervalos de tiempo y/o en intervalos del nivel de contaminación. Considere una partición del intervalo [t, T ] en N subintervalos del mismo tama no ∆t. Es decir, (T − t)/N = ∆t. Defina ahora la siguiente partición:</region>

<region>4.2 Construcción de la malla</region>

<outsider>116</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>Observe que el primer valor de esta partición corresponde a t 0 = T y el último a t N = t. La partición definida en (4.2.1) se ilustra en la Gráfica 4.2.1</region>

<region>Gráfica 4.2.1 Partición del intervalo de tiempo [t, T ]. t t+∆t t+2∆t ··· T =t+N ∆t | | | | Denote ahora el nivel de contaminación mediante E t y suponga que éste toma valores entre E 0 y E T . Defina, en este caso,</region>

<region>donde ∆E = (E T − E 0 )/I. Observe que el nivel de contaminación va de E 0 a E T . Esta partición del nivel de contaminación se puede apreciar en la Gráfica 4.2.2 Si se conoce r, entonces E T se puede calcular como E T = E 0 e rT .</region>

<region>Gráfica 4.2.2 Valores de nivel de contaminación con incrementos constantes ∆E. E 0 E 0 +∆E E 0 +2∆E ··· E T =E 0 +I∆E | | | | Con base en las particiones {t n } 0≤n≤N y {E i } 0≤i≤I definidas anteriormente, cada nodo de la malla está dado por (E i , t n ) = (E 0 + i∆E, T − n∆t) donde 0 ≤ i ≤ I y 0 ≤ n ≤ N .</region>

<region>A continuación se aproxima el cambio relativo del impuesto con respecto del tiempo. En lo sucesivo se denotará el nivel del impuesto, en cada uno de los nodos de la malla, mediante τ i n = τ (E i , t n ) = τ (E 0 + i∆E, T − n∆t). De esta manera, el superíndice se refiere a la variable tiempo y el subíndice al nivel de contaminación. Ahora bien, por definición se tiene que</region>

<region>∂τ τ (E t , t + h) − τ (E t , t) = lim . ∂t h→0 h</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>117</outsider>

<region>Esta derivada se puede aproximar con nodos horizontales de la malla, suficiente- mente cercanos. Si se supone que τ i n y τ i n+1 son conocidos, la ecuación anterior se puede reescribir como:</region>

<region>En este caso, el error 1 tiene magnitud O(∆t).</region>

<region>La ecuación (4.2.3) se puede justificar como sigue. Considere una expansión en serie de Taylor de τ (E t , t − ∆t) hasta términos de segundo orden, es decir,</region>

<region>La segunda derivada parcial de la expresión anterior se evalúa en (E t , t − θ∆t) para algún θ ∈ [0, 1]. Observe que por definición O((∆t) 2 ) satisface que O((∆t) 2 )/(∆t) 2 tiende a una constante cuando (∆t) 2 → 0. Por supuesto, se supone que τ = τ (E t , t) tiene derivadas parciales continuas del orden requerido. Si se omite el término de error y se despeja τ (E t , t − ∆t) de la ecuación (4.2.4),</region>

<region>Ahora bien, en términos de los puntos de la malla, si t = t n y E t = E 0 + i∆E, se sigue que t n − ∆t = T − n∆t − ∆t = T − (n + 1)∆t y</region>

<region>Después de sustituir las ecuaciones anteriores en (4.2.5), se obtiene</region>

<region>En otras palabras,</region>

<region>Esta aproximación tiene un error O(∆t), ya que O((∆t) 2 )/∆t = O(∆t). Este resultado coincide con (4.2.3). 1 Por definición, O((∆t) n ) satisface que O((∆t) n )/(∆t) n tiende a una constante cuando (∆t)→0 .</region>

<outsider>118</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>4.3 Cambio del impuesto con respecto del nivel de contaminación A continuación se aproxima la razón de cambio del impuesto, τ , con respecto del precio del nivel de contaminación, E t . En este caso se tienen, fundamen- talmente, tres formas distintas para calcular dicha aproximación. Para ello, se examina una sección vertical de la malla fijando el tiempo. Se destacan los siguientes tres casos. La diferencia “forward”, la cual está dada por</region>

<region>donde τ i−1 n = τ (E 0 + (i − 1)∆E, t). Por último, la diferencia central</region>

<region>Es importante destacar que las diferencias “forward” y “backward” tiene un error O(∆E), mientras que la diferencia central lo tiene de O(∆E) 2 . A continuación se justifican las aproximaciones (4.3.1), (4.3.2) y (4.3.3). Todas ellas utilizan una expansión en serie de Taylor.</region>

<region>4.3.1 Diferencia ”forward” Considere una expansión en serie de Taylor del impuesto τ (E t , t) de la siguiente forma:</region>

<region>La segunda derivada parcial de la expresión anterior se evalúa en (E t + θ∆E, t) para algún θ ∈ [0, 1]. Si se omite el término de error en la expresión anterior, se sigue que</region>

<region>En términos de valores en los nodos de la malla, se tiene que:</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>119</outsider>

<region>Por lo tanto, la aproximación (4.13) en el nodo (E i , t n ) puede reescribirse como</region>

<region>Evidentemente, la expresión anterior tiene un error de magnitud O(∆E). 4.3.2 Diferencia ”backward” Considere una expansión en serie de Taylor del impuesto τ (E t , t) de la siguiente forma: ∂τ (E t , t) τ (E t − ∆E, t) = τ (E t , t) + (E t − ∆E − E t ) ∂E t</region>

<region>= τ (E t , t) − ∆E ∂τ (E t , t) + O((∆E) 2 ). ∂E t La segunda derivada parcial de la expresión anterior se evalúa en (E t − θ∆E, t) para algún θ ∈ [0, 1]. Si se omite el término de error y se despeja τ (E t − ∆E, t) de la ecuación anterior, se obtiene</region>

<region>Ahora bien, en términos de valores en los nodos de la malla, si E t = E 0 + i∆E, se tiene que</region>

<region>la cual tiene un error de magnitud O(∆E).</region>

<outsider>120</outsider>

<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>4.3.3 Diferencia central</region>

<region>La diferencia central utiliza las diferencias “forward” y “backward”. Por un lado, en virtud de (4.3.1.1), se obtiene que ∂τ (E t , t)</region>

<region>2! ∂E t 2 En consecuencia, si se toma la diferencia entre las ecuaciones (4.3.3.1) y (4.3.3.2) se sigue que</region>

<region>En términos de nodos de la malla, se obtiene la siguiente aproximación:</region>

<region>La diferencia central tiene un error de magnitud O((∆E) 2 ), el cual es menor que el de las diferencias “forward” o “backward”, como puede notarse, esto se debe a la cancelación de varios términos de las expansiones (4.3.3.1) y (4.3.3.2). Es importante destacar que en el cálculo de la diferencia central se requiere conocer los valores de τ en E t + ∆E y E t − ∆E. De esta manera, si se está en la frontera de la región, es decir, en i = 0 ó i = I, entonces no es posible calcular dicha aproximación y se tendrán que utilizar las diferencias “forward” o “backward”. Suponga ahora que se desean utilizar los puntos E t , E t + ∆E y E t + 2∆E para aproximar la derivada de τ con respecto de E t . En este caso, se tiene que τ (E t + ∆E, t) = τ (E t , t) + ∆E ∂τ ∂E (E t t , t) + (∆E) 2! 2 ∂ 2 τ ∂E (E t 2 t , t) + O((∆E) 3 ). Por otro lado, si se expande τ de la siguiente manera ∂τ (E t , t) τ (E t + 2∆E, t) = τ (E t , t) + (E t + 2∆E − E t ) ∂E t + (E t + 2∆E − E t ) 2 ∂ 2 τ (E t , t) + O((∆E) 3 ) 2! ∂E t 2 = τ (E t , t) + 2∆E ∂τ ∂E (E t t , t) + 2(∆E) 2 ∂ 2 τ ∂E (E t 2 t , t) + O((∆E) 3 ) (4.3.3.6)</region>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

<outsider>121</outsider>

<region>y se omite el término de error, se tiene</region>

<region>Si se considera ahora la siguiente combinación de las ecuaciones (4.3.3.6) y (4.3.3.7):</region>

<region>τ (E t +2∆E,t)−4τ (E t +∆E,t) ≈ τ (E t , t) + 2∆E ∂τ ∂E (E t t , t) + 2(∆E) 2 ∂ 2 τ ∂E (E t 2 t , t) ∂τ (E t , t) (∆E) 2 ∂ 2 τ (E t , t) − 4 τ (E t , t) + ∆E ∂E t + 2! ∂E t 2 ∂τ (E t , t) − 3τ (E t , t) − 2∆E ∂E t (4.3.3.8) y se despeja ∂τ (E t , t)/∂E t , se obtiene</region>

<region>La expresión anterior se puede expresar, en términos de nodos de la malla, como: n n n</region>

<region>la cual tiene un error O((∆E) 2 ). Esta aproximación es del mismo orden de ajuste que la diferencia central. De la misma manera, si lo que se desea es aproximar la derivada de τ con respecto de E t utilizando la diferencia “backward”, es decir, empleando E t , E t − ∆E y E t − 2∆E, se tiene que</region>

<region>o en términos de la malla</region>

<region>la cual tiene un error (O(∆E) 2 ). Por último, para aproximar la segunda derivada de τ con respecto del precio de E t en (E i , t n ), con base en la diferencia central, se puede mostrar fácilmente que</region>

<region>con un error de magnitud (O(∆E) 2 ). Es importante destacar que en la práctica, la aproximación anterior se utiliza con mucha frecuencia.</region>

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<region>4.4 El método explícito de diferencias finitas Considere una ecuación diferencial parcial de segundo orden de la forma</region>

<region>donde σ(E t , t) > 0. Por supuesto, junto con (4.4.1) se requiere especificar una condición final τ (E t , T ) = h(E t ) para alguna función h. Al sustituir en la expresión anterior las aproximaciones con diferencias centrales de las derivadas parciales, obtenidas en las secciones anteriores, se tiene</region>

<region>El error en la ecuación es del orden O(∆t, (∆E) 2 ). Las funciones μ, σ y γ se valúan en E i = E 0 + i∆E y en t n = T − n∆t. Si se resuelve la ecuación anterior en términos de τ i n+1 , se sigue inmediatamente que</region>

<region>donde M i n = q 1 σ i n − 1 2 q 2 μ n i , N i n = −2q 1 σ i n + (∆t)γ i n , P i n = q 1 σ i n + 1 2 q 2 μ n i , ∆t ∆t q 1 = (∆E) 2 y q 2 = ∆E . La ecuación (4.4.3) se calcula en i = 1, 2, ..., I − 1, es decir, en puntos interiores, puesto que τ −1 n y τ I+1 n no están definidos. Así pues, existen I − 1 ecuaciones para I + 1 variables desconocidas τ i n . Las condiciones de frontera para i = 0 e i = I proporcionan las dos ecuaciones faltantes. Debido a que la relación entre los valores del impuesto en el tiempo t n+1 es función sólo de los valores del impuesto en el tiempo t n , a este método se le conoce como el método explícito de diferencias finitas. Aunque el método explícito es fácil de programar, no siempre converge. Por último, es importante destacar que la convergencia depende de la magnitud de los intervalos de tiempo y de niveles de contaminación, así como de las formas funcionales de μ, σ y γ. 4.5 Método implícito de diferencias finitas El método implícito siempre converge y para aproximar τ utiliza los nodos de la malla. En este caso, la relación “backward” entre los valores del impuesto sobre la malla se toma de la siguiente manera</region>

<region>τ i n − ∆t τ i n+1 + σ i n+1 τ i+1 n+1 − 2τ ∆E i n+1 2 + τ i−1 n+1</region>

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<region>El error de este método es O(∆t, (∆E) 2 ). La ecuación (4.5.1) se puede escribir como</region>

<region>donde M i n+1 = −q 1 σ i n+1 − 1 2 q 2 μ n+1 i , N i n+1 = 2q 1 σ i n+1 − (∆t)γ i n+1 , P i n+1 = −q 1 σ i n+1 + 1 2 q 2 μ n+1 i , ∆t ∆t q 1 = (∆E) 2 y q 2 = ∆E . Como antes, esta ecuación no se cumple para i = 0 ó i = I, las condiciones de frontera proporcionan las ecuaciones faltantes. Las diferencias principales entre este método y el método explícito son la estabilidad del método y el procedimiento de solución. Ahora, para calcular τ i n+1 a partir de τ i n se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales. 4.6 Método de diferencias finitas para modelos de dos factores Muchos modelos para determinar impuestos utilizan dos movimientos Brownianos. Por ejemplo, cuando el nivel de contaminación tiene volatilidad estocástica o cuando el impuesto se descuenta a una tasa variable. A continuación, se presenta el método de diferencias finitas para encontrar soluciones numéricas de este tipo de impuesto. En dimensiones mayores (tres o más), definitivamente es mejor utilizar el método de simulación Monte Carlo. Considere la siguiente ecuación de dos factores de riesgo:</region>

<region>En este caso se utiliza una malla tridimensional E i = E 0 + i∆E, r j = r 0 + j∆r y t n = T − n∆t.</region>

<region>La tasa impositiva se escribe como τ (E i , r j , t n ) = τ ij n .Para resolver esta ecuación mediante diferencias finitas se requiere una condición final τ (E i , r j , T ) = τ ij 0 . La ecuación (4.6.1) se aproximará utilizando diferencias centrales. En consecuencia, la segunda derivada ∂ 2 τ /∂E t ∂r t se aproxima mediante la expresión</region>

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<region>Observe que ∂τ τ i+1,j+1 n − τ i+1,j−1 n (E i + ∆E, r j , t) ≈ ∂r t 2∆r y ∂τ τ i−1,j+1 n − τ i−1,j−1 n (E i − ∆E, r j , t) ≈ , ∂r t 2∆r lo cual conduce a una discretización de (4.6.1) de la forma τ i+1,j+1 n − τ i+1,j−1 n τ i−1,j+1 n − τ i−1,j−1 n 1 − 2∆r 2∆r 2∆E τ i+1,j+1 n − τ i+1,j−1 n − τ i−1,j+1 n + τ i−1,j−1 n = . 4(∆E)(∆r) Esta aproximación preserva la propiedad</region>

<region>∂ 2 τ ∂ 2 τ = . ∂E t ∂r t ∂r t ∂E t De esta manera, el método de diferencias explícitas para dos factores conduce a τ ij n − ∆t τ ij n+1 + σ ij n τ i+1,j n − (∆E) 2τ ij n 2 + τ i−1,j n + μ ij n τ i+1,j n 2∆E − τ i−1,j n + γ ij n τ ij n + β ij n τ i,j+1 n − (∆r) 2τ ij n 2 + τ i,j−1 n + α n ij τ i+1,j+1 n − τ i+1,j−1 n 4(∆E∆r) − τ i−1,j+1 n + τ i−1,j−1 n + φ n ij τ i,j+1 n 2∆r − τ i,j−1 n =0 (4.6.3) con un error O(∆t, (∆E) 2 , (∆r) 2 ). 4.7 Aplicación del método de diferencias finitas para impuestos óptimos En esta sección se aplica el método explícito de diferencias finitas con dos factores E t y V t para aproximar el valor del impuesto que se obtiene como solución de la siguiente ecuación: ∂τ ∂t + ∂E ∂τ t rE t + 1 2 ∂E ∂ 2 τ t 2 V t S t 2 − rτ + (α − λβ) ∂V ∂τ t V t + 1 2 β 2 V t 2 ∂V ∂ 2 τ t 2 + ∂E ∂ 2 t c V t βE t V t 3/2 ρ = 0, la cual fue deducida en el capítulo 3 para impuestos por contaminación con volatilidad estocástica, específicamente la ecuación (3.4.15). La gráfica 4.7 muestra las soluciones aproximadas para un impuesto óptimo para diferentes valores de r y β cuando ρ = α = λ = 0. En este caso, para la generación de la malla, se han tomado los valores N = 4000 e I = 300 en una corrida de Mathlab c versión 6.1. El orden de error del método em- pleado es O(∆t, (∆E) 2 , (∆V ) 2 ). En este caso, afortunadamente, se alcanzó la convergencia del método explícito.</region>

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<region>Gráfico 4.7 Valores aproximados del impuesto óptimo</region>

<region>Observe que conforme la tasa de interés real aumenta, el factor de descuento disminuye y, en consecuencia, el valor del impuesto óptimo disminuye. Asimismo, cuando la volatilidad de la volatilidad aumenta, se tiene que el impuesto óptimo aumenta. 5. Método Monte Carlo para estimar impuestos óptimos Suponga que el nivel de contaminación se comporta de acuerdo a un movimiento geométrico Browniano, es decir,</region>

<region>dE t = μE t dt + σE t dW t , (5.1)</region>

<region>donde μ es el nivel promedio de contaminación esperada, σ es la volatilidad instantánea y dW t ∼ N (0, dt). El valor del impuesto óptimo está dado por τ (E t , T ) = e −r(T −t) E[max(E T −t − K, 0) | F 0 ] (5.2) Si se utilizan incrementos discretos, el nivel de contaminación, en la ecuación (5.1), se puede escribir como √ ∆E t = μE t ∆t + σE t ∆t E, (5.3) donde E es una variable normal estándar. Esta forma discreta de simular E t es conocida como el método de Euler. En este caso, a partir de un valor inicial E 0 y la generación de un número aleatorio de E, se calcula un posible valor de ∆E 1 , el cual, posteriormente, se utiliza para calcular E 1 = E 0 + ∆E 1 , y así sucesivamente. El método es fácil de aplicar a una ecuación diferencial estocástica y tiene un error del tipo O(∆t). Por otro lado, la aplicación del lema de It o, a (5.1), conduce a la siguiente ecuación: d(ln E t ) = μ − 1 2 σ 2 dt + σdW t , (5.4) la cual tiene una versión discreta dada por √ E t+∆t = E t exp μ − 1 2 σ 2 ∆t + σ ∆t E . (5.5) En este caso, los valores simulados del nivel de contaminación se inician con un valor E 0 y la generación de un número aleatorio de E 1 para obtener un posible valor de E 1 y así sucesivamente. Con base en las ideas anteriores, se puede proponer el siguiente algoritmo para determinar el valor aproximado del impuesto óptimo: (i) Simular el comportamiento de E t , partiendo de un valor presente, E 0 , y continuando hasta la fecha T , lo cual proporciona una posible trayectoria (realización) del impuesto; (ii) Calcular para cada realización el valor intrínseco del impuesto; (iii) Repetir n veces los pasos anteriores; (iv) Calcular el promedio de los valores intrínsecos obtenidos; (v) Calcular el valor presente del promedio anterior, lo cual finalmente proporciona el impuesto óptimo. Observe que entre mayor sea el número de realizaciones, mayor será la precisión del resultado. Si se aumentan en cien veces las simulaciones, entonces la precisión aumenta en una décima. Por supuesto, la precisión también depende de la calidad de los números aleatorios, por lo que es recomendable llevar a cabo una prueba de aleatoriedad. Vale la pena mencionar que en la práctica es muy frecuente emplear variables aleatorias uniformes en [0,1] para generar variables aleatorias normales estándar a través del método de Box-Muller, el cual establece que se pueden utilizar E = −2 ln U 1 cos(2πU 2 ) ó E = −2 ln U 1 sen(2πU 2 ) para generar valores de E sin N (0, 1) con U 1 , U 2 ∼ U [0, 1]. En la Gráfica 5.1 se presenta la simulación de 25 trayectorias del nivel de contaminación.</region>

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<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<outsider>Revista Mexicana de Economía y Finanzas, Vol. 7, No. 1, (2012), pp. 93-128</outsider>

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<region>Gráfico 5.1 Simulación Monte Carlo de 25 trayectorias del impuesto</region>

<region>Para calcular el impuesto óptimo con el método de simulación Monte Carlo considerando 1000 realizaciones con E 0 = 100, T = 1 , σ =20%, ∆t = 0.01 μ = 4.0% , K = 105, se tiene que τ = 5.4240. 6. Conclusiones En este trabajo de investigación se ha determinado un impuesto por contaminación ambiental. Los casos por contaminación extrema y por contaminación con volatilidad estocástica se han analizado. En el primer caso se obtuvo una fórmula cerrada y en el segundo se han utilizado métodos numéricos para generar soluciones aproximadas. En todos los casos estudiados se considera un consumidor racional representativo que obtiene satisfacción de un bien que viene acompa nado de una envoltura o recipiente que tiene un costo en términos reales para el consumidor. Dicha envoltura no produce satisfacción, es desechada, y no es biodegradable. Asimismo se llevó a cabo una aplicación del método de diferencias finitas para aproximar impuestos óptimos como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, particularmente cuando el nivel de contaminación presenta volatilidad estocástica. Por último se empleó el método de simulación Monte Carlo para aproximar el valor de un impuesto óptimo. Por supuesto, más investigación se requiere a fin de incorporar un umbral estocástico, por ejemplo, un umbral cuya dinámica esté determinada por el movimiento geométrico browniano. Black, F. and M. Scholes (1973). “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Journal of Political Economy. Vol. 81, No. 3, pp. 637-654. Dixit, A. K, and R. S. Pindyck. (1994). Investment under uncertainty. Princeton (University Press, Princeton NJ). Henderson, V., and D. G. Hobson (2002). Real Options with Constant Relative Risk Aversion. Journal of Economic Dynamics and Control, 27(2), pp. 329-355. Lewis, A. L. (2000). Option Valuation Under Stochastic Volatility: With Mathematica Code, Finance Press. U. K. Masaki, K. (2003). Stochastic Processes with Aplications to Finance, Chapman & Hall, ACRC Press Company. Merton, R. C. (1969). “Lifetime Portfolio Selection Under Uncertainty: The Continuous-Time Case”. Review of Economics and Statistics, Vol. 51, No. 3, pp. 247-257. Merton, R. C. (1994). “Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model”. Journal of Economic Theory, Vol. 3, No. 4, pp. 373-413. Merton, R. C. (1973). “Theory of Rational Option Pricing”. Metropolis, N. and S. Ulam (1949). “The Monte Carlo Method”. Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, No. 247, pp. 335-341. Bell Journal of Economics, Vol. 4, No. 1, pp. 141-183. Reiss, R. D., Thomas, M., 2001. Statistical Analysis of Extreme Values. Second edition Birkhäuser-Verlag, Basel, Switzerland. Ross, S. M. (1999). Simulación. Segunda edición, Pearson, Prentice Hall. Schwartz, E. S. and L. Trigeorgis (2001), Real Options and Investment under Uncertainty. The MIT Press Cambridge, Massachusetts London, England. Smith G. D. (1986). Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods (Oxford Applied Mathematics & Computing Science Series). 3rd edition. Oxford University Press. Strobel, F. (2005). Monetary integration and inflation preferences: a real options analysis. European Economic Review, 49(4), pp. 845-860. Venegas-Martínez, F. (2008). “Temporary Stabilization in Developing Countries and the Real Option of Waiting when Consumption Can Be Delayed”. International Journal of Economic Research, Vol. 7, forth- coming. Venegas-Martínez, F. (2008). Riesgos financieros y económicos (productos derivados y decisiones económicas bajo incertidumbre), 2da. edición, Cen- gage Learning Editors (anteriormente International Thomson Editors),- México. Venegas-Martínez, F. y G. P. Aguilar (2004). “Maximización de utilidad y valuación de derivados con volatilidad estocástica”. Revista Mexicana de Economıa y Finanzas, REMEF, Vol. 4, No. 2, pp. 73-82. Wilmott, P., S. Howison, and J. Dewynne (1995). The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction. Cambridge University Press.</region>

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<outsider>Nueva Epoca REMEF (The Mexican Journal of Economics and Finance)</outsider>

<region>BIBLIOGRAFÍA</region>