1. Introducción

Durante las últimas décadas la teoría financiera se desarrolló bajo el supuesto de que las series de rendimientos siguen una distribución normal. La hipótesis Gaussiana no fue cuestionada seriamente hasta que los trabajos pioneros de Mandelbrot (1963) y Fama (1965a-b) fueron publicados. El exceso de curtosis encontrado en las investigaciones de Mandelbrot y Fama les llevó a rechazar la hipótesis normal y proponer la distribución Pareto estable como un modelo estadístico para los rendimientos de los activos.

En años posteriores, la hipótesis Pareto estable fue apoyada por numerosas investigaciones empíricas de diversos autores, tales como (Bawa (1979); Janicki y Weron (1994); Panorska, Mittnik y Rachev (1995); y más recientemente Nolan (1997, 2003, 2013); Rachev y Mittnik (2000); Rachev y Han (2000); Ortobelli, Huber y Schwartz (2002); Curto, Pinto y Tavares (2009); Nolan y Ravishanker (2009); Contreras-Piedragil y Venegas-Martínez (2011); Bonato (2012); Climent-Hernández y Venegas-Martínez (2013) y Climent, Venegas y Ortiz (2015)).

El objetivo de este trabajo de investigación es considerar la familia de distribuciones α-estable en la estimación del VaR como una alternativa en el mercado financiero mexicano. Esta propuesta es atractiva, dado que la distribución estable no Gaussiana posee propiedades similares a la distribución normal. Entre estas propiedades, es importante resaltar que la familia de distribuciones α-estable satisface el Teorema del Límite Central Generalizado, el cual afirma que el único límite no trivial de sumas de variables aleatorias normalizadas independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) es estable. La segunda propiedad señala que las distribuciones α-estable tienen dominio de atracción, es decir, cualquier distribución en el dominio de atracción de una distribución estable específica, tendrá propiedades similares a la misma. La tercera propiedad es que las distribuciones α-estable capturan la naturaleza leptocúrtica de los datos financieros empíricos (Fama (1965a); Mandelbrot (1963 y 1967); Cheng y Rachev (1995); McCulloch (1996); Mittnik, Rachev y Paolella (1997)).

Tal vez, el aspecto más atractivo de la hipótesis α-estable es la propiedad de estabilidad, es decir, las distribuciones α-estable son estables con respecto a la suma de variables aleatorias estables i.i.d. La propiedad de estabilidad es deseable, ya que implica que cada distribución estable tiene un índice de estabilidad que sigue siendo el mismo, independientemente de la escala utilizada. El índice de estabilidad desempeña el papel del parámetro que rige las propiedades principales de la distribución subyacente.

Este enfoque, se basa en la estimación de los parámetros de la distribución estable empleando el criterio de máxima verosimilitud. Además, la estimación de la media y varianza condicional de los rendimientos se basa en el modelo TSGARCH con la innovación de la distribución estable.

Por último, el objetivo final de esta investigación es comparar el desempeño de las estimaciones del VaR obtenidas bajo la hipótesis estable y gaussiana durante y después de la crisis financiera del 2008.

Existen numerosas investigaciones que realizan estimaciones del VaR con simulación Montecarlo en períodos de alta volatilidad empleando la metodología econométrica ARMA-GARCH, sin embargo la principal aportación de esta investigación es que propone una distribución condicional alternativa para los rendimientos de los precios de los activos en el mercado financiero mexicano, considerando un modelo GARCH con la innovación de la distribución α-estable.

Además, hasta donde es de nuestro conocimiento no hay evidencia empírica sobre el desempeño en la medición de riesgo de los modelos VaR estable y normal, respectivamente, durante períodos de alta volatilidad en el mercado financiero mexicano. Este trabajo proporciona evidencia de que las estimaciones del VaR mediante el modelo heterocedástico condicional estable muestran una precisión satisfactoria durante períodos de turbulencias financieras.

El resto de la presente investigación se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 se presenta la definición del Valor en Riesgo y las metodologías tradicionales para el cálculo del mismo. En la sección 3 se hace una breve descripción de los modelos GARCH. En la sección 4 se describe la familia de distribuciones α-estable y sus principales características. En la sección 5 se describen los datos empleados y se discuten sus propiedades, además se presentan los resultados de la estimación de los modelos GARCH basados en la hipótesis estable y normal, respectivamente. La sección 6 presenta las estimaciones del VaR mediante el modelo heterocedástico condicional estable. En la sección 7 se analiza y compara la estimación del VaR α-estable con los resultados del VaR obtenidos bajo el supuesto de que los rendimientos financieros siguen una distribución Gaussiana. Por último, en la sección 8 se presentan las conclusiones, limitaciones y sugerencias para futuras investigaciones.

2. Valor en Riesgo (VaR)

El Valor en Riesgo se ha convertido en el estándar para medir y evaluar el riesgo, desde que en 1996 el Comité de Supervisión Bancaria de Basilea requiere que las instituciones financieras, como los bancos y firmas de inversión, cumplan con el requisito de capital basado en la estimación del Valor en Riesgo (VaR).

El Valor en Riesgo se define como la máxima pérdida probable de un portafolio o instrumento financiero en un horizonte temporal determinado, para un nivel de confianza dado, bajo circunstancias normales de los mercados y como consecuencia de movimientos adversos de los precios. Sin embargo, el objetivo de esta sección es definir formalmente el VaR y mostrar algunas de las expresiones analíticas utilizadas en el cálculo del mismo.

Definición. Dado un intervalo de tiempo

<mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced>

, el cambio relativo en el valor de un activo financiero en un horizonte de tiempo dado

<mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi>

se define como

donde

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>Π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ln</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow>

,

<mml:mi>V</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced>

representa el valor del activo financiero en el tiempo t. Por simplicidad denotamos

<mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>∆</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>Π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo>

entonces

<mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi>

con

<mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

es una variable aleatoria continua definida sobre el espacio muestral que representa el cambio en el valor del activo (rendimiento). Supongamos que X está definida sobre un espacio de probabilidad fijo

<mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo>

Entonces, el Valor en Riesgo de X al nivel se define como la mínima de las cotas superiores para un intervalo de confianza del (1-q)% tal que

Es decir

De lo cual se deriva lo siguiente

De la definición de VaR en (2), es posible obtener el VaR dada la función de distribución acumulada de los rendimientos del activo financiero:

Donde

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo>

es la función de distribución acumulada de los rendimientos del activo en un período y

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo>

es la función de densidad de probabilidad de X. Entonces

es decir el VaR es el cuantil q de

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

Por lo cual, la esencia de los cálculos del VaR es la estimación de los cuantiles inferiores de la función de distribución acumulada de los rendimientos del activo financiero, que en la práctica es desconocida.

Los métodos de estimación del VaR sugieren diferentes formas de construir esta función. Los más comunes son, el método paramétrico, la simulación histórica y la simulación Monte Carlo.

3. Modelos de volatilidad

Entre los modelos populares que explican la volatilidad variable se encuentran los modelos de la familia ARCH (Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity) introducidos por Engle (1982), los cuales asumen que las varianzas condicionales siguen procesos autorregresivos. El modelo ARCH (m) supone que los rendimientos de los activos son descritos por el siguiente proceso:

donde

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

es la media condicional de los rendimientos,

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

es el proceso de innovación,

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

son variables aleatorias i.i.d. con media y varianza

<mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup>

es la varianza condicional de la innovación

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi>

para garantizar que la varianza sea positiva. Además los coeficientes deben satisfacer

<mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow>

para que el proceso

<mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup>

sea estacionario.

Tradicionalmente,

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

sigue una distribución normal estándar, pero es posible utilizar otras distribuciones.

Bollerslev (1986) propuso el modelo ARCH generalizado o GARCH. El modelo Autorregresivo con Heterocedasticidad Condicional Generalizado (GARCH) es una extensión del modelo ARCH, el cual permite que la varianza actual del término del error dependa también de las varianzas de errores previos. El modelo se escribe como

donde

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi>

son las mismas del modelo ARCH, y

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi>

son los coeficientes de la especificación. Además

<mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow>

, para

<mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn>

. Esto es un requisito para garantizar que la varianza sea positiva y que existan los momentos de orden superior.

De (7) se obtiene que la varianza marginal de es finita, mientras que su varianza condicional varía en el tiempo.

Por otra parte, vale la pena señalar que existen estudios empíricos que afirman que el modelo es robusto para los datos financieros (véase Bali y Theodossiou 2007, Hansen 1994, Liu y Brorsen 1995 y Panorska, Mittnik y Rachev 1995). Entonces, dados los datos financieros, se pueden estimar los parámetros del modelo mediante el método de máxima verosimilitud.

4. Distribución α-estable

En la gestión del riesgo es esencial encontrar una distribución que describa los datos financieros de una manera adecuada. Comúnmente los rendimientos financieros no se describen adecuadamente por la distribución normal, ya que los resultados empíricos muestran que los datos financieros son por lo general asimétricos y presentan colas pesadas. Sin embargo, actualmente se emplean otras familias paramétricas que describen datos cuya característica es la presencia de colas pesadas.

Entre estas se encuentra la familia de distribuciones α-estables, la cual es una clase rica de distribuciones de probabilidad que permiten asimetría y colas pesadas y además tienen muchas propiedades matemáticas interesantes. Esta clase de distribuciones fue caracterizada por Paul Lévy en su estudio de sumas de términos independientes idénticamente distribuidos en 1920. La ausencia de expresiones analíticas explícitas (fórmulas cerradas) para la función de densidad de probabilidad y para la función de distribución acumulada de las distribuciones estables (excepto las distribuciones de Gauss, Cauchy y Levy), ha sido un gran inconveniente para su implementación. En la actualidad existen programas informáticos confiables para calcular las funciones de densidad estables, las funciones de distribución y sus cuantiles.

Existen múltiples definiciones y notaciones de variables aleatorias estables.¹ En este documento, seguimos la notación y definición presentada por Nolan, la cual caracteriza a las distribuciones estables por cuatro parámetros, presentados a continuación.

Definición. Una variable aleatoria X es estable si, para cualquier

<mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn>

, existe una constante

<mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi>

tal que

donde

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub>

son copias independientes de X y

<mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup>

denota igualdad en distribución. Una variable aleatoria es estrictamente estable si

Una variable aleatoria es simétrica estable si es estable y simétricamente distribuida alrededor del 0, es decir

En general, las distribuciones estables no poseen expresiones analíticas explícitas para la función de densidad de probabilidad (PDF) ni para la función de distribución acumulada (CDF). Una variable aleatoria α-estable X, es comúnmente descrita por su función característica (CF), la cual se define como

Donde:

<mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>

es el índice de estabilidad o exponente característico que nos refleja el tamaño de las colas de la distribución,

<mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>

es el parámetro de asimetría que nos indica la simetría de la distribución,

<mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn>

es un parámetro de escala también denominado dispersión, y

<mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi>

es el parámetro de posición.

Esta parametrización es conveniente para propósitos teóricos, pero no para cálculos numéricos o inferencia estadística, y además no es continua en la vecindad de

<mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>

Nolan (1997) llama a la expresión (8) la 1-parametrización y la denota como

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

. Además, para

<mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>

la función característica es

Otra expresión más simple para la función característica de una variable aleatoria α-estable X que es continua para todos los parámetros es

la cual es llamada por Nolan (1997) la 0-parametrización y la denota como

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

.

Si

<mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn>

la 0-parametrización y 1-parametrización son iguales. Si

<mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

entonces una variable aleatoria α-estable estándar

<mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mn>1,0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

se define como

Con función de densidad de probabilidad

<mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mn>1,0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

Por lo cual, la función de densidad de probabilidad para X,

<mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

, puede expresarse en términos de la función de densidad de probabilidad de la variable estándar α-estable como

Lo cual no se cumple para la parametrización

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

cuando

<mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo>

En esta investigación se usarán la 0-parametrización y 1-parametrización, debido a que

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

posee propiedades algebraicas deseables y

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

es continua en todos sus parámetros, lo cual es útil en el trabajo numérico e inferencia estadística. En estas dos parametrizaciones, α y β, y el parámetro de escala γ son siempre los mismos, pero el parámetro de localización δ tiene diferentes valores.

En lo sucesivo denotaremos

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

como

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo>

y

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

como

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo>

En este caso los parámetros de localización están relacionados por

En estudios empíricos, el modelado de datos financieros se realiza normalmente mediante distribuciones estables con 1<α<2, las cuales corresponden a la familia de distribuciones Pareto-Estable (PE). A valores pequeños de α le corresponden distribuciones más leptocúrticas (el pico de la densidad se hace mayor y las colas son más pesadas). Por lo tanto, el índice de estabilidad α puede ser interpretado como una medida de curtosis. Si el parámetro de asimetría β=0, la distribución de X es simétrica, si β>0, la distribución está sesgada hacia la derecha y si β<0, la distribución es sesgada a la izquierda. Cuando α=2 y β=0,

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2,0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1,0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

se reduce a la distribución Gaussiana. Cuando α<2,

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0,1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

se tienen colas más pesadas que en la distribución Gaussiana.

La Figura 1 muestra algunas distribuciones α-estable para distintos valores de sus parámetros.

Dado que las distribuciones estables no poseen expresiones analíticas explícitas para la función de densidad de probabilidad ni para la función de distribución acumulada (excepto cuando α=2, estas se calculan numéricamente. Uno de los enfoques para aproximar la función de densidad de probabilidad es aplicando Transformada Rápida de Fourier (FFT) a la función característica (ver Khindanova, Rachev, Schwartz (2001)).

Para resumir brevemente la aproximación basada en la FFT, recordemos que la PDF se puede escribir en términos de la CF como

La integral (10) se puede calcular utilizando N puntos igualmente espaciados a una distancia h tal que

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi>

. Tomando

<mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi>

la ecuación (10) implica

La integración se puede aproximar mediante

donde

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup>

La sumatoria en (11) puede ser calculada de manera eficiente aplicando la FFT a la sucesión

Normalizando el k-ésimo elemento de la sucesión por

<mml:mi>s</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup>

, se obtiene el valor aproximado de la PDF para cada punto de la cuadrícula y para cualquier , se puede utilizar la interpolación lineal con el fin de obtener su PDF.

5. Selección de los datos y estimación de los modelos GARCH

6. Modelo Heterocedástico condicional α-estable

Como se observa en la Tabla 1 y la Figura 3, las series de rendimientos muestran no sólo asimetría y colas pesadas, sino también clúster de volatilidad variable en el tiempo. Por lo tanto, para describir tanto la asimetría como las colas pesadas se emplea la distribución α-estable para calcular la innovación en el modelo GARCH.

Por otro lado, como consecuencia de las colas pesadas, no todos los momentos están definidos en la distribución α-estable, excepto cuando , por lo cual se utiliza el TS-GARCH (especificación propuesta por Taylor (1986) y Schwert (1989)). El modelo se describe a continuación.

Los rendimientos de las acciones se modelan como

donde

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

es la serie de rendimientos de la acción en el tiempo

<mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

son la media condicional y la desviación estándar condicional de,

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

son variables aleatorias estandarizadas Pareto estables idéntica e independientemente distribuidas, que pueden denotarse como

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1,0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>

Para comparar la bondad de ajuste de la distribución α-estable, se consideran dos pruebas de hipótesis: la prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS) y la prueba de Anderson-Darling (AD). La hipótesis nula de ambas pruebas es

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub>

Los datos analizados siguen una distribución α-estable.

El test KS calcula el estadístico de contraste:

Donde F( ) es la frecuencia acumulada teórica y

<mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo>

es la frecuencia acumulada observada. Es decir, D es la mayor diferencia absoluta observada entre la frecuencia acumulada observada y la frecuencia acumulada teórica, obtenida a partir de la distribución de probabilidad que se especifica como hipótesis nula.

Si los valores observados

<mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo>

son similares a los esperados

<mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo>

, el valor de D será pequeño. Cuanto mayor sea la discrepancia entre la distribución empírica y la distribución teórica, mayor será el valor de D. La toma de la decisión en el contraste anterior puede llevarse a cabo mediante el empleo del p-value asociado al estadístico D observado.

En el caso de la prueba AD el estadístico de prueba se define como

<mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi>

, donde

<mml:mi>N</mml:mi>

es el tamaño de muestra,

<mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo>

es la función de distribución acumulada según

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub>

y

<mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

es el i-ésimo estadístico de orden en la muestra de datos. A diferencia de la prueba KS, los valores críticos de la prueba AD dependen de la distribución supuesta en la hipótesis nula, esto tiene la ventaja de ser más robusta para evaluar el comportamiento de las colas de la distribución, Marsaglia (2004).

De esta forma, para un nivel de significancia , la regla de decisión para este contraste es:

La Tabla 2 muestra los valores observados deD,

<mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup>

y el p-value para la muestra completa y los dos períodos.

Además, la estimación del test de Razón de Verosimilitud (LR) favorece el modelo estable. El test LR se define como

En el cual la hipótesis nula es H0: Los datos siguen una distribución normal vs H1: Los datos siguen una distribución estable. En la Tabla 2 se muestran los valores del test LR, los cuales exceden el valor crítico (al 99% de confianza) de la distribución Ji-cuadrada con dos grados de libertad. Esto significa un claro rechazo de la hipótesis Gaussiana.

Para estimar los parámetros en (12), se utiliza el método de máxima verosimilitud (MLE)³, donde la función de densidad de probabilidad de se aproximó mediante el programa STABLE⁴. Los parámetros estimados de la distribución α-estable para la muestra completa y los dos períodos se presentan en la Tabla 3.

La Tabla 4 muestra las estimaciones obtenidas por el método de máxima verosimilitud para el modelo TS-GARCH, basado en la distribución α-estable, tanto para la muestra completa como en los dos períodos descritos anteriormente.

La Figura 4 muestra las gráficas de las funciones de densidad estables ajustadas a los datos correspondientes a la muestra completa con los parámetros estimados.

7. Conclusiones

En esta investigación se consideró a la familia de distribuciones estables en la estimación del VaR como una alternativa en el mercado financiero mexicano y se propuso comparar las estimaciones del VaR obtenidas bajo la hipótesis estable y gaussiana durante y después de la crisis financiera del 2008.

Los resultados estadísticos sugieren que el modelo VaR α-estable proporciona estimaciones del VaR al 99% y 95% más precisas en períodos de alta volatilidad, es decir, las estimaciones del VaR son más eficientes bajo el supuesto de que los rendimientos siguen una distribución estable durante períodos de turbulencias financieras.

Por otro lado, los resultados muestran que el modelo bajo la hipótesis gaussiana subestima significativamente el VaR al 99% durante períodos de crisis, por el contrario en el período posterior a la crisis los resultados son aceptables, sin embargo las estimaciones del VaR α-estable exceden un menor número de veces el rango permitido, es decir estas son más conservadoras.

Además, en el período posterior a la crisis las estimaciones del VaR al 95% bajo la hipótesis gaussiana se encuentran dentro del rango permitido y en contraste las obtenidas bajo el modelo α-estable se encuentran por debajo del rango admisible, lo cual sugiere que este modelo sobrestima el VaR al 95% durante este período.

Concluyendo, esta investigación proporciona evidencia de que el modelo VaR α-estable estima satisfactoriamente el VaR para niveles altos de confianza incluso en períodos de alta volatilidad.

En contraste, en períodos de relativa tranquilidad para niveles de confianza bajos este modelo sobrestima las pérdidas potenciales. Al respecto, se sugiere desarrollar un trabajo futuro considerando el grado de persistencia de la volatilidad de los rendimientos. En esta línea, es posible considerar el trabajo de Brooks, Clare y Persand (2000) en el cual se argumenta que los modelos GARCH típicamente exageran el grado de persistencia de la volatilidad de los rendimientos y sugieren una modificación simple del modelo GARCH, la cual consiste en la introducción de una variable proxy, la cual explica el nivel de persistencia de la volatilidad y señalan mejora la precisión de las estimaciones. Sin embargo, el trabajo de Brooks, Clare y Persand (2000) se desarrolla bajo la hipótesis normal en la perturbación aleatoria del modelo GARCH, dado que en este trabajo se emplea la distribución

<mml:mi>a</mml:mi>

-estable para la innovación del GARCH, no se requiere una variable proxy, aunque sería interesante realizar un ejercicio comparativo en un trabajo futuro, considerando la hipótesis estable, la hipótesis normal y contrastar los resultados empíricos con los aquí obtenidos.

Asimismo, en una investigación adicional, sería conveniente desarrollar un trabajo futuro considerando algunas otras distribuciones que también capturen las características empíricas de las series de datos financieros y comparar su desempeño con el modelo α-estable aquí propuesto. Además, se sugiere construir en otro trabajo futuro un portafolio de inversión y emplear funciones cópula para describir las correlaciones entre los rendimientos de las acciones empleando la distribución estable como la distribución marginal de los activos que conforman el portafolio.