2.1 Literatura Internacional

Los autores que han aportado en la construcción de metodologías no convencionales en la estimación del valor en riesgo (VaR) son los siguientes:

1. Thomas Breuer, quien facilitó la conceptualización y las metodologías matemáticas para la utilización de la teoría del valor extremo (EVT), valor extremo condicional (EVC) y valores extremos en modelos con volatilidad (Feria, J & Oliver, M, 2006).
2. Mathias Hofmann y Claudia Czado, proponen el uso de VineCopulas utilizando estimaciones bayesianas para modelos de tipo GARCH multivariado en la estimación del valor en riesgo (Hofmann, M & Czado, C, 2011).
3. Jostein Larsen Benterud, Magnus Solli Haukaas y Paul Ingebrigt Huse, proponen el uso del modelado de vine-cópulas para describir el comportamiento de modelos de riesgo comparando las estimaciones en el valor en riesgo con las metodologías clásicas (Larsen, J; Solli M & Ingebrigt P, 2013).

2.2 Literatura Nacional

En la literatura local los autores que han estudiado la estimación del riesgo de mercado son las siguientes:

1. Luis Fernando Melo y Oscar Becerra Camargo proponen una estimación del VaR para la tasa interbancaria de Colombia utilizando metodologías ARMA-GARCH-EVT en donde identifican las técnicas con mejor y peor desempeño en la estimación (Melo V, Luis Becerra C, Oscar, 2005).
2. Daniel Mariño Ustacara y Luis Fernando Melo proponen la utilización de métodos semiparamétricos mediante el uso de la regresión cuantílica lineal y no lineal comparándolas con las técnicas tradicionales para la estimación del VaR en activos financieros (Mariño, D Melo, L, 2016).
3. Pamela Cardozo propone la estimación del valor en riesgo en activos financieros utilizando la metodología de la teoría del valor extremo en la estimación del VaR comparándola con el método delta-normal. (Cardozo, 2004).

A continuación, se exponen los métodos no clásicos de estimación del valor en riesgo a nivel teórico:

3.1 Estimación del VaR usando la Teoría de Valor Extremo (EVT)

Esta metodología, parte de asumir dependencia en el cálculo del VaR, tomando en cuenta eventos extremos como son la dependencia en las colas de distribución. Este método es uno de los más acertados para estimar el VaR, al contar con soluciones para generar decaimientos en la heterocedasticidad, y correlación serial dada por modelos de tipo GARCH multivariado (Mariño, D Melo, L, 2016).

La teoría del valor extremo nació como uno de las disciplinas más grandes en la estadística aplicada en los últimos 50 años, por su capacidad para cuantificar la conducta de procesos a niveles grandes o pequeños. (Cardozo, 2004)

Los indicios de la estimación del valor en riesgo a través del EVT buscan de algún modo, cuantificar el comportamiento de las pérdidas a través de la probabilidad mediante el análisis del comportamiento de las colas de la distribución de los retornos dados por un portafolio de inversión. Este método semiparamétrico, proporciona medidas más fuertes en cuanto a las colas de la distribución de los retornos obtenidos mediante comportamientos extremos en los datos, que no solucionan las medidas paramétricas y no paramétricas.

La EVT ofrece un buen modelado de los datos utilizando el comportamiento extremo de las colas de las distribuciones de pérdidas asociadas a las observaciones a través de estimaciones con asociaciones paramétricas que permiten encontrar la cola de la distribución.

Según (Fernandez, 2003) el comportamiento actual de la EVT está basado en el identificar momentos estadísticos de los retornos de un portafolio de inversión, así como el cálculo de la distribución de los retornos financieros; sin embargo, para este trabajo se centrará en el cálculo de aplicaciones multivariadas en la estimación del valor en riesgo.

La teoría del valor extremo parte de los siguientes supuestos y condiciones:

Sea F X ( x ) la función de distribución acumulada desconocida para los retornos negativos del portafolio de inversión seleccionado. Se le dice evento extremo a las pérdidas generadas por la cola derecha de la distribución de pérdidas, y   ​ ​ Φ ​ ​   n al máximo de los retornos negativos conocidos como riesgos; este último conocido como el peor caso de pérdidas en la muestra aleatoria de n riesgos

La distribución de   ​ ​ Φ ​ ​   n según (Fernandez, 2003) se escribe de la siguiente manera⁴:

Para el cálculo del valor en riesgo, a través de esta metodología se deben tener en cuenta los siguientes supuestos sobre la teoría del valor extremo:

1. Para límites muy altos la cola de la distribución de los datos converge a la distribución generalizada de Pareto⁵.

2. Se posee una distribución de excesos o extremos por encima del umbral θ generando la siguiente probabilidad condicional:

Lo que permite que para valores grandes de θ exista una función β ( θ ) que garantice el limite

Donde X 0 corresponde a la pérdida máxima en la distribución.

Lo anterior implica, que a largas distribuciones el dominio máximo de atracción sea de tipo: normal, log normal, chi-cuadrado, t, gamma, f, etc.

Asumiendo los anteriores aspectos, es necesario el cálculo de las colas de la distribución de pérdida, teniendo en cuenta como se mencionó antes, que a cantidades de umbral θ la distribución de excesos F ( δ ) converge a la distribución Pareto generalizada G ρ , β .

Siguiendo lo anterior, se puede encontrar la aproximación para la distribución F X ( x ) como:

Donde la función del umbral θ se puede estimar de manera no paramétrica usando la distribución empírica 1-r/n, donde r representa las realizaciones hechas por encima del umbral θ .

La estimación de la distribución se escribe de la siguiente manera:

(Mariño, D Melo, L, 2016) indica que los parámetros para encontrar esta distribución se estiman vía máxima verosimilitud.

En lo que concierne a la estimación del VaR después de tener la distribución de los retornos negativos se selecciona un nivel de confianza entre 0<conf<1, y se calcula la siguiente fórmula (Hao Li, Xiao Fan, Yu Li, Yue Zhou, Ze Jin Zhao Liu, 2014)

3.2 Estimación del VaR usando Cuasi-verosimilitud

La volatilidad es el comportamiento principal en el modelado de activos financieros; se puede observar en la práctica usualmente que ésta se aglomera y está autocorrelacionada a lo largo del tiempo. Los modelos GARCH son la mejor aproximación para explicar el comportamiento de explosión y calma en los activos, convirtiéndose en una herramienta muy útil en el manejo del riesgo financiero.

La estimación del VaR con supuestos normales, evidencian en la aplicación, una presencia amplia de sesgo y curtosis, lo que resulta en poca o mucha cobertura de las estimaciones calculadas. Por lo que asumir otro tipo de distribuciones y realizar modelos para el manejo de riesgo, resulta en muchas ocasiones un factor óptimo en la estimación oportuna del VaR (Embrechts, 2016).

En la práctica es bastante común utilizar modelos auto-regresivos de heterocedasticidad condicional (ARCH) y generalizados (GARCH) ya que estos, capturan los movimientos no constantes de la varianza a través del tiempo, luchando contra los constantes cambios en la volatilidad. En la práctica los modelos más utilizados de esta clase son los ARCH (1), GARCH (1,1) y EGARCH(1,1); en el caso de este documento se estimará el VaR por medio del modelo GARCH(1,1)

Sea ϕ t = ln ( P t P t − 1 ) los continuos cambios en los retornos desde el período empezado en t-1 hasta t, y P t como el precio de los activos financieros al tiempo t; la desagregación de ϕ t se puede escribir de la siguiente manera:

Donde ρ t − 1 corresponde a la información en el tiempo propuesto menos una unidad y ε t los errores de dicha desagregación considerados como valores no predictivos; el valor esperado para el i − é s i m o proceso de auto-regresión se escribe como:

Los valores no predictivos se pueden escribir como procesos de tipo ARCH ε t = m t σ t , donde m t corresponde a un vector de medias de 0, varianza 1 y la varianza condicional de ε t es σ t (Embrechts, P Hoing, A, 2006).

Con lo anterior, la varianza condicional del modelo ARCH(q) se escribe como:

Donde c i ≥ 0     ∀ i = 1, … , q y corresponde a la reacción a los nuevos comportamientos en el mercado; a través de la anterior definición, se logra generalizar el modelo ARCH convirtiéndolo en un GARCH(p,q) con la siguiente varianza condicional:

Donde si c + β < 1 , el proceso se considerará estacionario, y a su vez β i sostiene la persistencia de la heterocedasticidad en el tiempo. Para el caso del modelo GARCH (1,1) la varianza condicional se escribe de la siguiente manera:

El modelo GARCH(p,q), según (Lei, Fan J Xiu D, 2014) propone una solución bastante buena frente a problemas con la volatilidad, y las colas pesadas de la distribución de los retornos, por lo que genera estimaciones confiables al incluir este factor difícil de modelar y pronosticar.

Por otro lado, este modelo carece de eficiencia por las limitaciones que posee, en cuanto a la varianza dependiente de la magnitud y no de los ε t ; lo que no es evidente en el comportamiento de los precios donde se encuentra un factor de apalancamiento en los cuales, los activos presentan correlaciones negativas entre ellos, y en repercusión logran cambios en la volatilidad (Fan J Gu J, 2003).

En el caso, de la estimación de los parámetros de los modelos GARCH (p,q) es frecuente usar la estimación por máxima verosimilitud (MLE), asumiendo normalidad en la distribución de los errores ε i t del modelo ARMA previamente realizado antes de modelar la volatilidad. Por otro lado, se pueden asumir distribuciones para los errores como la t de student centrada o no, distribución generalizada del error, inversa gaussiana o la distribución de Johnson’s; sin embargo, estos métodos carecen de consistencia en las estimaciones de los parámetros. En este caso la estimación por máxima cuasi-verosimilitud (QMLE) puede ser consistente y asintoticamente normal bajo condiciones que respectan al cuarto momento del proceso ARCH. La robustez en las estimaciones siempre va acompañada de eficiencia en los estimadores, por lo que la estimación por verosimilitud gaussiana asintótica en las innovaciones de los errores aumenta de varianza significativamente en las estimaciones de los parámetros por lo que el estimador se vuelve ineficiente por MLE. Sin embargo, aplicando algunas técnicas semi paramétricas por simulación de montecarlo es posible ganar eficiencia en los estimadores por medio de QMLE gaussianos (Fernandez, 2003).

En general, la técnica de estimación frecuentemente utilizada en los modelos GARCH por medio de QMLE es la Cuasi-verosimilitud Gaussiana (GQMLE) la cual garantiza la mejora en eficiencia de las estimaciones (Timotheos A, Benos A Degiannakis S, 2003)

Método de Cuasi-verosimilitud

Sea el siguiente vector aleatorio y_t que satisface la siguiente ecuación:

donde ϵ t es una secuencia marginal diferenciada con respecto a F t , donde F t la sigma álgebra comprendida por las observaciones de y t para t>1 tal que E ( ϵ t | F t − 1 ) = E t − 1 ( ϵ t ) y g t ( θ ) corresponde a un F t − 1 medible siendo función de un vector de parámetros de interes θ .

Se tiene que E t − 1 ( ϵ t ϵ t ' ) = A t conocida, por lo que una función lineal para la estimación se escribe como:

con la siguiente función de quasi-verosimilitud

donde W t es una matriz medible en F t − 1 . Seguido a ello, la estimación para θ es la solución de la anterior ecuación cuando esta es igual a 0. Si sub estimación de los espacios de G T ( θ ) es G t = W t ( y t − g t ( θ ) ) entonces la función de cuasi-verosimilitud estimada es la siguiente:

y la estimación de es la solución de G T ( θ ) = 0 Para el uso del método de cuasi-verosimilitud en el caso del proceso GARCH (p,q), se tienen que tener en cuenta algunas consideraciones. Sea un proceso GARCH (p,q) definido de la siguiente manera:

y

donde ε t son independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d) con E t − 1 ( ε t ) = 0 y V A R t − 1 ( ε t ) = σ t 2 ;

ζ t ( i . i . d ) c o n E t − 1 ( ζ t ) = 0 y V A R t − 1 ( ζ t ) = σ ζ 2 . En este caso para la siguiente diferencia:

permite la estimación por (QL) para σ t 2 como:

Entonces dando el valor de 0 en el tiempo 0 para ε t , es decir ε 0 ^ = 0 , unos valores iniciales para la la estimación de los parámetros del modelo ψ 0 = ( μ 0 , c 0 0 , c 1 0 , … , c p 0 , β 1 0 , … , β q 0 , σ ζ 0 2 ) , a estimación de los errores al cuadrado ε ^ t − i 2 = ( y t − i − μ 0 ) 2 , σ ^ t − j 2 es la estimación por cuasi-verosimilitud de la parte de heterocedasticidad del modelo. Entonces la estimación por QL para σ t 2 es la solucion de G ( t ) ( σ t 2 ) = 0 .

El estimador QL usando la estimación para σ t 2 y el vector de información y t , para la estimación de θ = ( μ , c 0 , c 1 , … , c q , β 1 , … , β q ) esta dada por:

El estimador para corresponde a la solución de G T ( θ ) = 0 . Donde ζ t ^ y σ ^ ζ 2 son:

Entonces la estimación de los parámetros por cuasi-verosimilitud ψ ^ = ( μ ^ , c 0 ^ , c 1 ^ , … , c p ^ , β 1 ^ , … , β p ^ , σ ^ ζ 2 ) corresponde a una iteración de las anteriores funciones a partir del valor inicial para ψ 0 .

En el caso del modelo GARCH(1,1) se tiene en cuenta la siguiente forma para la varianza σ t 2 .

donde ε t ( i . i . d ) ; E t − 1 ( ε t ) = 0 , V A R t − 1 ( ε t ) = σ t 2 y ζ t (i.i.d) con E t − 1 ( ζ t ) = 0 y V A R t − 1 ( ζ t ) = σ ζ 2 . . En este caso la diferencia

Y el estimador de cuasi-verosimilitud para σ t 2 esta dado por: G ( t ) ( σ t 2 ) =

En este caso dando valores iniciales para ε 0 ^ = 0, ψ 0 = ( μ 0 , c 0 0 , c 1 0 , β 1 0 , σ ζ 0 2 ) , ε ^ t − 1 2 = ( y t − 1 − μ 0 ) 2 y σ ^ t − 1 2 es el estimador por cuasi-verosimilitud para σ t − 1 2 , por lo que la solución de G ( t ) ( σ t 2 ) = 0 resulta ser el estimador G T ( θ ) para la varianza σ ^ t 2 con la forma:

la solución G T ( μ , c 0 , c 1 , β 1 ) = 0 , permite la estimación de los parámetros con la siguiente forma (Alzghool, 2017):

Las estimaciones se obtienen con el anterior procedimiento iterativo tomando en consideración los valores iniciales para ψ 0 = ( μ 0 , c 0 0 , c 1 0 , β 1 0 , σ ζ 0 2 ) .

Al considerar la anterior estimación de la varianza para el modelo GARCH se encuentra el cuantil ( 1 − α ) teniendo en cuenta la siguiente fomra:

En donde S = 1 , σ ^ t 2 la varianza estimada del modelo, Z α el cuantil de la normal a un α y r ^ t los rendimientos estimados por el modelo en el tiempo t.

3.3 Estimación del VaR con el uso de Cópulas

Teniendo en cuenta la volatilidad de las series financieras, en la mayoría de los casos se asume normalidad sobre los retornos, con estos supuestos se realizan los modelos GARCH; sin embargo, es clave entender la relación de dependencia no lineal existente entre los retornos por medio de la teoría de cópulas. Una cópula es entendida como la relación entre dos o mas funciones, la cual denota un vínculo entre la distribución de probabilidad de un vector aleatorio y las distribuciones marginales asociadas a este. En términos multivariados una cópula se puede expresar como:

donde C denota esta relación y puede ser escrita como:

En finanzas, la aplicación de las cópulas ha ido creciendo en los últimos años, debido a su uso en proceso matemáticos de gran complejidad.

Formalmente las cópulas son funciones multivariadas d-dimensionales con distribuciones marginales en el intervalo [ 0,1 ] ; éstas, son usadas para el modelado de la estructura de dependencia en datos multivariados, donde X = ( X 1 , X 2 , … , X d ) corresponde a un vector d-dimensional con una distribución conjunta F ( x 1 , … , x d ) y distribuciones marginales F i ( x i ) , i = 1,2, … , d . tal que:

En donde la anterior expresión satisface las siguientes propiedades (Alzghool, 2017):

• Si F es una función continua d-variada con marginales univariadas F 1 , … , F d y F 1 − 1 , … , F d − 1 , entonces:

es única

• Si F es una función continua d-variada de variables discretas (generalmente mitad continua, mitad discreta), entonces la cópula es unica en el conjunto

Entonces, según (Joe, 2015), para cualquier función de distribución cuyas marginales sean uniformes, es posible obtener una cópula asociada. En la función cópula C de un vector multivariado X se encuentra la función de distribución del vector U = ( U 1 , U 2 , … , U d ) t donde, F i es la distribución marginal de cada variable aleatoria, lo que implica que:

donde H es la función de distribución conjunta de x 1 , x 2 , … , x d en el cubo uniforme I n . En probabilidad, una cópula C : [ 0,1 ] d → [ 0,1 ] es d-dimensional si C es una distribución de probabilidad conjunta de un vector d-dimensional dentro del cubo uniforme constituido por los intervalos [ 0,1 ] d con sus marginales uniformes.

1) Teorema de Sklar

De acuerdo con el teorema de Sklar, se establece que si en H ( x 1 , x 2 , … , x d ) las distribuciones F i son continuas entonces cópula asociada C es única. Si no, entonces esta resulta ser en el producto cruzado entre los rangos de cada F i y es unica para H .

2) Vine Cópulas

La implicación del teorema de Sklar muestra que las marginales uniformes pueden ser modeladas de manera separada del modelado de dependencia en términos de la cópula, mostrando algunos problemas de selección en la estructura de dependencia en altas dimensiones. Las cópulas multivariadas como la Gaussiana o t de student son definidas para cualquier dimension; sin embargo, sus propiedades de dependencia suelen presentar limitaciones y pueden presentar dificultades incluso en tres dimensiones. En el caso de las arquimedianas presentan poca flexibilidad en modelar la dependencia con dos o más variables (Brechmann & Schepsmeier, 2013).

Este problema puede ser solucionado con el uso de Vine Cópulas; este método permite escribir una distribución conjunta en términos de una cópula bivariada y una condicional conforme a una estructura gráfica en forma de árbol, por medio de esta permite una medida más flexible para capturar la estructura de dependencia entre los activos financieros. Existen dos clases de Vine Cópulas, los C-Vinces (canonicos) & D-Vines. En estos, la diferencia se basa en la forma estructural del árbol en el que se representan las cópulas condicionales y bivariadas. Estas estructuras han sido utilizadas satisfactoriamente en distintas aplicaciones, siendo la mas usada el riesgo financiero. Las Vine Cópulas están conformadas por una estructura general hecha a partir de cópulas bivariadas o llamadas (Pair Cópulas Constructions PCC), esto permite que una cópula general pueda ser reescrita en un producto entre PCC usando las distribuciones multivariadas con unas marginales dadas.

Sea X un vector aleatorio multivariado con F i distribuciones marginales, f ( x 1 , x 2 , … , x d ) una función de densidad d-dimensional y c ( u 1 , u 2 , … , u d ) la correspondiente densidad cópula. De acuerdo con lo mencionado por (Czado, C. Aleksey. M, 2010)., la función de distribución conjunta f ( x 1 , x 2 , … , x d ) puede ser expresada en términos de una distribución condicional como se presenta a continuación:

donde c i ,     i + j | ( i + j ) : ( i + j − 1 ) corresponden a las densidades de las cópulas bivariadas con los parametros θ i ,     i + j | ( i + j ) : ( i + j − 1 ) . En este trabajo se hara el uso de la descomposición D-vine la cual es construida seleccionando un orden especifico de las variables. En esta estructura los órdenes de relación entre los activos financieros son escritos de tal manera en que cada par condicional encontrado permita hallar una nueva relación condicional entre las relaciones previamente calculadas.

Siguiendo con los delineamientos de este trabajo, se tienen tres dimensiones conformadas por los activos con mayor peso en el portafolio, por lo que una posible descomposición para la densidad f ( x 1 , x 2 , … , x d ) puede ser:

lo que implica que

por lo que la descomposición para d=3 es:

esto implica que la estructura gráfica del árbol D-vine tiene la siguiente forma:

[Figure ID: f1] Figura 1.

Estructura del árbol D-Vine

  —Fuente: Elaboración propia .

Lo que significa que la cópula general para esta estructura resulta del producto entre las PCC como se muestra a continuación:

Familia de cópulas

A continuación, se muestran las posibles cópulas que pueden obtenerse en el modelado de los activos financieros (Nicole Krämer Ulf Schepsmeier, 2011):

Cópula Gaussiana

Se define a la cópula gaussiana como la distribución sobre el espacio medible en el cubo [ 0,     1 ] d construida a partir de la Normal multivariada y dada una matriz de correlación Σ ∈     ℝ d donde la relación d-dimensional se escribe de la siguiente manera:

donde Φ − 1 es la inversa de la distribución normal estándar Φ Σ ; en términos matemáticos la densidad de la cópula se puede escribir como:

Cópula t

En términos generales la cópula t puede ser escrita como:

donde f v , P es la densidad de un vector distribuido t d ( v ,0, P ) con v grados de libertad y P como matriz de correlaciones, y f v como densidad univariada estándar t con v grados de libertad (Nelsen, 2006)

Cópulas arquimedianas

Las cópulas arquimedianas son una clase asociativa de cópulas cuya expresion admite una fórmula explícita; estas son populares por permitir modelar la dependencia en dimensiones altas con un solo parámetro. En general, una cópula se dice arquimediana si se expresa como:

donde ψ es una función decreciente, continua y convexa perteneciente al intervalo [ 0,1 ] ×     Θ →     [ 0, ∞ ) ,     θ es el parámetro de la cópula con un espacio de parámetros Θ y ψ [ − 1 ] es considerado como pseudo inversa de ψ tal que:

En general las cópulas arquimedianas más importantes son las siguientes:

Estimación de los parámetros

En general un modelo con la inclusión de una estructura de dependencia (Vine Cópula) posee la siguiente forma:

La selección de la estructura es utilizada por medio de el cálculo del τ de kendall, el ρ de spearman, p valores significativos en las pruebas de bondad y ajuste o distancias, en donde el árbol es seleccionado como una estructura canónica C-vine, D-vine o R-vine en general.

Los métodos de selección para la cópula a utilizar se basan en test de bondad y ajuste, independencia, criterios como Akaike Information Criterion (AIC) o Bayesian Information Criterion (BIC), o gráficos de contorno que permitan identificar una posible estructura.

En cuanto a la última parte del modelo, la estimación de los parámetros se puede realizar por tres métodos en concreto (Triana, Torres Aponte, Alba, Pineda-Ríos, 2017):

• Estimación por máxima verosimilitud
• Métodos secuenciales: En estos los parámetros son secuencialmente estimados desde el inicio de la estructura del árbol, generando así pseudo observaciones usadas en la segunda etapa del árbol, en donde esta estimación se realiza bajo máxima verosimilitud bivariada o θ = f ( τ ) . En este método las estimaciones secuenciales pueden ser utilizadas como valores iniciales para la máxima verosimilitud.
• Estimación Bayesiana

En el caso de este trabajo la estimación de los parámetros se realizó por máxima verosimilitud por medio del paquete VineCópula del software R.

3.4 Valor en Riesgo Condicional (Expected Shortfall)

El VaR condicional (CVaR), déficit esperado o llamado expected shortfall es una medida del valor en riesgo que responde a la pregunta de “Si las cosas van mal que pérdidas se obtendrían”. Desde un punto de vista estadístico en el CVaR se asume cada dia t = 1, … , T , un Y t como las pérdidas y ganancias distribuidas a lo largo de una distribución real (incognoscible) F t pronosticada a partir de la distribución predictiva del modelo P t condicionada en la información previa para calcular el VaR. El valor en riesgo condicional puede ser definido como:

Para las variables aleatorias Y = Y t se establece el supuesto de independencia más no el de ser idénticamente distribuidas (i.i.d), no se restringe la variabilidad de F t y P t en el tiempo y se asume que las distribuciones son continuas y crecientes, por lo que el el valor en riesgo condicional se puede escribir como (Alzghool, 2017):