rmef Revista mexicana de economía y finanzas Rev. mex. econ. finanz 1665-5346 2448-6795 Instituto Mexicano de Ejecutivos de Finanzas, A. C. 10.21919/remef.v15i3.377 Artículos de investigación Análisis comparativo de metodologías para la cuantificación de provisiones técnicas en entidades aseguradoras. Adaptación a Solvencia II Comparative analysis of methodologies for the quantification of technical provisions in insurance entities. Adaptation to Solvency II Paule-Vianez Jessica 1 * Coca-Pérez Jose Luis 2 Granado-Sánchez Manuel 2 Universidad Rey Juan Carlos, España Universidad Rey Juan Carlos Universidad Rey Juan Carlos Spain Universidad de Extremadura, España Universidad de Extremadura Universidad de Extremadura Spain Correspondencia: Jessica Paule-Vianez. Dirección: Paseo de los Artilleros s/n, Madrid, C.P. 28032, España. Teléfono: +34 914 88 78 00. Correo electrónico: jessica.paule@urjc.es. 01 12 2020 Sep-Dec 2020 15 3 313 329 14 10 2019 27 03 2020 Este es un artículo publicado en acceso abierto bajo una licencia Creative Commons Resumen

La entrada en vigor de Solvencia II ha supuesto un gran proceso de adaptación para las compañías aseguradoras. Uno de los aspectos en los que incide Solvencia II es en la cuantificación de riesgos, y dentro de esta en la estimación de las provisiones técnicas a constituir. El objetivo de este trabajo es estudiar la estimación de las provisiones técnicas en seguros no vida a través de metodología estocástica. Comparamos tres de los métodos más populares para la estimación de los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados, siendo estos la Distribución Libre de Mack, el Modelo Lineal Generalizado asumiendo una distribución Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica, y el método Bootstrap con Simulación. Los resultados muestran que el método Boostrap con Simulación es el método más apropiado, siendo el percentil 50 la medida más adecuada ante la existencia de valores negativos o excesivamente elevados, hecho habitual en este contexto.

Abstract

The entry into force of Solvency II has involved a great process of adaptation for insurance companies. One of the aspects affected by Solvency II is in the quantification of risks, and within this in the estimation of the technical provisions to be constituted. The objective of this work is to study the estimation of technical provisions in non-life insurance through stochastic methodology. We compare three of the most popular methods for estimating payments for claims that occurred but not reported, these being the Free Distribution-free of Mack, the Generalized Linear Model assuming a Poisson distribution with Overdispersion along with the logarithmic link function, and the Bootstrap method with simulation. The results show that the Boostrap method with Simulation is the most appropriate method, with the 50th percentile being the most appropriate measure in the presence of negative or excessively high values, which is common in this context.

<italic>Clasificación JEL:</italic> G22 G32 C10 <italic>Palabras claves:</italic> Solvencia II Provisiones Técnicas Distribución Libre de Mack Modelo Lineal Generalizado Bootstrap <italic>JEL Classification:</italic> G22 G32 C10 <italic>Keywords:</italic> Solvency II Technical Provisions Claims Reserving Distribution-free of Mack Generalized Linear Model Bootstrap 1. Introducción

La adaptación de las empresas aseguradoras a la Directiva Europea Solvencia II, se ha convertido en uno de los objetivos fundamentales para estas. Existen diversos cambios introducidos por esta normativa, siendo su fin “eliminar las diferencias más importantes entre las legislaciones de los Estados miembros en lo que respecta a la regulación de las empresas de seguros y reaseguros, […], haciendo así más fácil para las empresas de seguros y de reaseguros, […], la cobertura de los riesgos y los compromisos localizados en ellas” (Solvencia II).

Existen diversos tipos de riesgos que afectan a la actividad aseguradora, siendo el riesgo de reserva en el que se centra este trabajo, concretamente en el cálculo de las provisiones técnicas. En Solvencia II esté cálculo trata de armonizarse para lograr una mayor comparabilidad y transparencia a nivel europeo. Las provisiones técnicas pueden definirse cómo el “importe que una empresa de seguros o reaseguros tendría que pagar si transfiriera de manera inmediata todas sus obligaciones subyacentes de seguro y reaseguro a otra entidad” (Solvencia II), además, estas deberán “reflejar las características de la cartera de seguros subyacente” (Solvencia II). Existe una clara diferenciación entre la cuantificación de las provisiones técnicas en seguros de vida de los que no lo son, centrándose este estudio en el cálculo de las provisiones técnicas en seguros no vida.

Solvencia II establece para el cálculo de las provisiones técnicas que estas deberán ser “igual a la suma de la mejor estimación y de un margen de riesgo”, siendo la mejor estimación igual a la “media de los flujos de caja futuros ponderada por su probabilidad, teniendo en cuenta el valor del dinero”. En este estudio se analizaran diversos métodos de cuantificación de provisiones sin tener en cuenta el margen de riesgo y sin actualizar los flujos de caja futuros.

Para cuantificar las provisiones técnicas en seguros no vida, se pueden clasificar los diferentes métodos en deterministas y estocásticos, en función de si tiene en cuenta o no la posible variabilidad de la estimación de las provisiones. Los métodos en los que nos centraremos serán los métodos estocásticos. Entre los métodos estocásticos más utilizados, se encuentran la Distribución Libre de Mack (Mack, 1993), los Modelos Lineales Generalizados (McCullagh y Nelder, 1989) y el modelo Bootstrap con Simulación (England, 2002). Todos estos métodos tienen su base en el método determinista Chain Ladder, siendo posiblemente el método más popular para el cálculo de las provisiones técnicas (Mack, 1994) con anterioridad a Solvencia II y el cual trabaja sobre el triángulo de desarrollo de Taylor y Ashe (1983).

La Distribución Libre de Mack (Mack, 1993) es un modelo no paramétrico en donde no se hace ninguna suposición sobre la distribución de los pagos por siniestros, en esencia, está técnica calcula la volatilidad del estimador de las provisiones técnicas (Slim y Mansouri, 2015) a través del error cuadrático medio de las estimaciones obtenidas con el método Chain Ladder, por tanto, puede decirse que el modelo propuesto por Mack supone una generalización estocástica del clásico Chain Ladder (Boj et al., 2014).

El Modelo Lineal Generalizado (McCullagh y Nelder, 1989), al igual que el modelo propuesto por Mack, generaliza el método Chain Ladder desde un punto de vista estocástico, coincidiendo los resultados obtenidos con el Modelo Lineal Generalizado suponiendo una distribución Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica con las estimaciones del método Chain Ladder (Boj et al., 2014; Boj y Costa, 2017).

El modelo Bootstrap con Simulación (England, 2002) tiene su origen en el modelo propuesto por England y Verrall (1999), dichos modelos se basan en el remuestreo para obtener el error de predicción, siendo la principal aportación realizada por England (2002) la obtención de la distribución de la reserva utilizando la distribución entera. A diferencia de la propuesta de England y Verrall (1999), England (2002) pretende generar la distribución de la reserva estimada utilizando la distribución entera frente a la estimación únicamente de los dos primeros momentos que realizan England y Verrall (1999).

Por tanto, analizamos los tres métodos expuestos para determinar cuál es el que mejor se ajusta para el cálculo de provisiones técnicas. Si bien existen multitud de métodos aplicados a la cuantificación de provisiones ténicas en compañías aseguradoras, pocos son los trabajos que han comparado varios de ellos para analizar su adaptación a las necesidades de estas compañías. Para ello, se trabaja sobre un registro de pagos por siniestros de una aseguradora entre el año 2003 y 2011. Para realizar dicho estudio, utilizamos el programa estadístico R, basándonos en Carrato et al. (2015).

A partir de aquí el trabajo se estructura:

En la Sección 2 se exponen las bases de los métodos estocásticos propuestos para el cálculo de provisiones técnicas. En la Sección 3 estudiamos las previsiones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados junto a su error de estimación para cada uno de los métodos propuestos. En la Sección 4 analizamos los resultados obtenidos por cada método. Y, por último, en la Sección 5 explicamos las conclusiones obtenidas con el estudio.

2. Métodos estocásticos para el cálculo de provisiones técnicas

En este apartado explicaremos los métodos anteriormente comentados.

2.1. La Distribución Libre de Mack

Mack (1993) fue el primero en introducir un modelo estocástico sobre el método Chain Ladder para obtener el error estándar de dicho método (Wüthric, 2008). Este método obtiene la desviación típica de las previsiones de pagos por siniestros futuros con el método Chain Ladder obteniendo el error cuadrático medio (Paule-Vianez et al., 2019). No obstante, la distribución de los datos subyacentes no se específica por completo, sólo obtiene los dos primeros momentos lo que dificulta la obtención de intervalos de confianza (England, 2002).

Para aplicar el método propuesto por Mack (1993), en primer lugar se aplica el método Chain Ladder para obtener las estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados.

Se comienza obteniendo los factores de desarrollo con los datos acumulados dispuestos sobre el Triángulo de Desarrollo de Taylor y Ashe (1983).

R j = ∑ t = j I - j ‍ D t ,     j + 1 ∑ t = j I - j ‍ D t , j ,

siendo D t , j los pagos acumulados por siniestros ocurridos en el año t y en el año de desarrollo j, siendo el total número de años I.

En este momento se obtienen los factores de proyección.

F k = ∏ k = j I - j ‍ R j .

Con estos factores de proyección se realizan las estimaciones de pagos por siniestros previstos por cada año de ocurrencia.

D ^ i , n = D i ,         g ⋅ F g ,

siendo D ^ i , n las estimaciones de pagos por siniestros acumulados ocurridos en el año i y g el último año de desarrollo del que tenemos pagos por siniestros actualmente.

Por tanto las estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados serán:

P i =     D ^ i ,     n - D i ,     g .

Para obtener las estimaciones totales de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados se suman los P i .

La Distribución Libre de Mack incorpora la obtención del error del método Chain Ladder, para ello se obtiene en primer lugar, la varianza de cada año de desarrollo de la siguiente forma:

σ ^ j 2 = 1 n - j - 1 ⋅ ∑ i = 1 n - j ‍ D i ,     j D i ,     j + 1 D i ,     j - R j 2 .

Sin embargo, no permite esta fórmula obtener la varianza para el último año de desarrollo, existiendo dos alternativas para la obtención de dicha varianza:

La Regresión Loglineal:

σ ^ n - 1 2 = e α ^ + β ^ ⋅ j .

La propuesta realizada por Mack:

σ ^ n - 1 2 = m i n σ ^ n - 2 2 σ ^ n - 3 2 ; m i n σ ^ n - 2 2 ; σ ^ n - 3 2 .

Ya obtenidas las varianzas para cada año de desarrollo, se procede a obtener el error cuadrático medio de los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados por cada año de ocurrencia.

M S E ^ P ^ i = D ^ i ,     n 2 ∑ k = n + 1 - i n - 1 ‍ σ ^ k 2 R k 2 ⋅ 1 D ^ i ,     k + 1 ∑ j = 1 n - k ‍ D j ,     k .

Por tanto, la desviación típica para cada año de ocurrencia es:

s e P ^ i = M S E ^ P ^ i .

Para obtener el riesgo total de los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados:

M S E ^ P ^ = ∑ i = 2 n ‍ M S E ^ P i + D ^ i ,     n ⋅ ∑ j = i + 1 n ‍ D ^ j ,     n ⋅ ∑ k = n - i + 1 n - 1 ‍ 2 σ ^ k 2 f ^ k 2 ∑ q = 1 n - k ‍ D q ,     k ,

s e P ^ = M S E ^ P ^ .

De este modo se obtiene el error de predicción derivado de las estimaciones realizadas con el método Chain Ladder.

 2.2. El Modelo Lineal Generalizado

El Modelo Lineal Generalizado tiene como caso particular el método determinista Chain Ladder incluyendo la posibilidad de obtener el error de predicción, objetivo primordial en Solvencia II (Boj et al., 2014). Este modelo permite elegir la distribución del error y la función de enlace del modelo, siendo la distribución y función que aporta las mismas estimaciones que el Chain Ladder la distribución Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica (Boj et al, 2014, Boj y Costa, 2017).

Los modelos lineales generalizados son una alternativa a las transformaciones en la variable dependiente, motivadas por la falta de linealidad y de homogeneidad en la varianza, una consecuencia del comportamiento no normal de la variable dependiente (Albarrán y Alonso, 2010).

El Modelo Lineal Generalizado asumiendo una distribución Poisson con Sobredispersión con función de enlace logarítmica, debe aplicarse sobre los pagos por siniestros no acumulados, siendo los valores para la distribución (Renshaw y Verrall, 1998):

E C i j = μ i j ,

V a r C i j = ϕ E C i j = ϕ μ i j ,

siendo C i j los pagos por siniestros incrementales, ϕ un parámetro escalar desconocido como parte del procedimiento de ajuste y μ i j la media de pagos por siniestros.

Y combinado con la función de enlace logarítmica:

l o g μ i j = η i j .

Siendo el modelo predictor:

η i j = c + α i + β j ,

α 0 = β 0 = 0 .

Y asumiendo que:

∑ i = 0 n - j ‍ C i j ≥ 0 ,

siendo α i el factor correspondiente a los años de ocurrencia y β j el factor correspondiente a los años de desarrollo.

De modo que se obtienen las estimaciones de las cuantías por pagos futuros a partir de:

C ^ i j = e x p c + α i + β j .

2.3. El método Bootstrap con Simulación

La metodología Bootstrap fue introducida por Efron (1979) e introducida en la estimación de las provisiones técnicas por Lowe (1994).

La técnica Bootstrap proporciona estimaciones del error estadístico, imponiendo escasas restricciones sobre las variables aleatorias analizadas y estableciéndose como un procedimiento de carácter general, independientemente del estadístico considerado (Solanas y Sierra 1992, p.143). En base a esto nos hemos decantado por esta metodología en vez de por otros métodos estocásticos, porque entre otros aspectos, permite obtener las provisiones cuando existen reservas negativas, muy común (Paule-Vianez et al., 2018).

England y Verrall (1999) proponen un método de estimación de provisiones técnicas con Bootstrap como una forma fácil de obtener el riesgo de reserva, el cual, utiliza los factores de desarrollo del método Chain Ladder. Este modelo se basa en la utilización de la distribución Poisson con Sobredispersión para la obtención de la estimación de reservas y su varianza utilizando los residuales de Pearson remuestreados para obtener el error de predicción.

England (2002) introduce cambios sobre la propuesta de England y Verrall (1999) frente a los dos primeros momentos, introduciendo un modelo dividido en dos etapas: Bootstrapping para obtener el error de estimación y Simulación para obtener el error de proceso, lo que nos permite obtener en cada muestreo la distribución de predicción en lugar de sólo los dos primeros momentos.

Comenzando por la obtención del error de estimación, se obtienen los factores de desarrollo R j del método Chain Ladder, al igual que en el método Mack, y utiliza dichos factores para modificar el triángulo original aplicando los factores de forma retrospectiva.

M i ,     j - 1 = M i ,     j R j - 1 ,

siendo M i ,    j los pagos por siniestros acumulados del nuevo triángulo y M I ,    n = D I ,    n .

Este nuevo triángulo, denominado triángulo ajustado acumulado, se desacumula para obtener el triángulo ajustado incremental (England y Verrall, 1999).

m i ,     j = M i ,     j - M i ,     j - 1 ,

siendo M i ,    1 = m i ,    1 . De este modo, con el triangulo ajustado incremental obtenemos los pagos por siniestros estimados siguiendo los factores de desarrollo para cada año de desarrollo correspondientes a los distintos años de ocurrencia.

Con el triángulo ajustado incremental se procede a obtener los residuales de Pearson comparando el pago real con el estimado según los factores de desarrollo.

r p i ,     j = C i , j - m i , j m i ,     j .

En este momento se obtienen los factores de escala de Pearson.

ϕ p = ∑ ‍ r p 2 n - p ,

donde:

n = t ⋅ t + 1 2 ,

p = 2 t - 1 ,

siendo t el número de años estudiados.

El primer cambio introducido por England (2002) fue un ajuste sobre los residuales de Pearson anteriormente obtenidos.

r p ' i ,     j = r p i ,     j ⋅ n n - p .

A partir de aquí se inicia un bucle iterativo que se repetirá N veces. Se remuestrean los residuales de Pearson ajustados con los que se obtiene un nuevo triángulo, obteniendo los C ˘ i ,    j utilizando la fórmula de los residuales pero despejando esta incógnita.

C ˘ i ,     j = r ˘ p ' i ,     j m i ,     j + m i ,     j .

Este nuevo triángulo se acumula:

D ˘ i ,     j = C ˘ i ,     j + D ˘ i ,     j - 1 ,

siendo D ˘ i ,    1 = C ˘ i ,    1 .

Una vez obtenido el nuevo triángulo acumulado se procede a estimar los pagos por siniestros futuros aplicando el Chain Ladder y posteriormente se desacumulan los pagos por siniestros estimados, utilizando dichos valores en la siguiente etapa m ˘ i ,    j (Albarrán y Alonso, 2010).

Para la obtención del error de proceso se procede en este momento a la fase de simulación en la que se simula un proceso Poisson Sobredisperso de forma que se generan datos que siguen esta distribución en cada una de las celdas con media y varianza:

E C i ,     j = m ˘ i ,     j ,

V a r C i ,     j = ϕ p ⋅ m ˘ i ,     j ,

siendo el parámetro λ del modelo Poisson:

λ = m ˘ i ,     j ϕ p .

Los valores obtenidos en este proceso serían los valores obtenidos para los pagos por siniestros de cada muestra.

Una vez conocido el error de estimación y el error de proceso, se obtiene el error de predicción con la siguiente fórmula:

P E R = ϕ p ⋅ R + n n - p ⋅ S E b s R 2 ,

siendo R el total de pagos por siniestros estimados y S E b s ( R ) el error de estimación de las provisiones técnicas obtenidas en la primera etapa.

Conocidos los modelos con los que trabajaremos procederemos a realizar la prueba empírica.

3. Estimación provisiones técnicas

Para comparar los modelos planteados utilizamos los datos de pagos por siniestros de una compañía aseguradora en su ramo de autos en el periodo 2003-2011 (Cuadro 1). Se ha utilizado este periodo de muestra debido a que ha sido el facilitado por la compañía aseguradora.

Triángulo de pagos por siniestros acumulado.

Años de origen Años de desarrollo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2003 10.046.091 19.010.101 22.024.848 22.895.018 24.872.022 25.209.233 25.353.489 25.539.526 25.600.148
2004 11.415.084 18.969.296 21.195.484 22.135.959 22.870.535 23.017.091 23.210.194 23.245.375
2005 11.574.464 20.598.683 23.783.689 25.997.732 26.206.821 26.742.444 26.764.421
2006 9.138.516 16.683.752 18.966.676 19.621.744 19.790.022 20.108.031
2007 10.916.767 19.323.012 21.234.007 21.926.159 22.595.511
2008 10.532.658 18.559.272 20.661.893 21.237.913
2009 9.587.254 16.160.559 17.988.122
2010 10.773.442 18.566.037
2011 9.358.683

Fuente: Elaboración propia.

Se comienza obteniendo la estimación de pagos por siniestros utilizando la Distribución Libre de Mack (Cuadro 2), la cual coincide con la obtenida por el método Chain Ladder.

Las estimaciones de pagos totales obtenidas son 205.737.066 u.m. y las estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados ascienden a 20.272.824 u.m.

Total de pagos por siniestros estimados aplicando el Chain Ladder.

Años de origen Años de desarrollo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2003 10.046.091 19.010.101 22.024.848 22.895.018 24.872.022 25.209.233 25.353.489 25.539.526 25.600.148
2004 11.415.084 18.969.296 21.195.484 22.135.959 22.870.535 23.017.091 23.210.194 23.245.375 23.300.551
2005 11.574.464 20.598.683 23.783.689 25.997.732 26.206.821 26.742.444 26.764.421 26.886.339 26.950.158
2006 9.138.516 16.683.752 18.966.676 19.621.744 19.790.022 20.108.031 20.204.412 20.296.447 20.344.624
2007 10.916.767 19.323.012 21.234.007 21.926.159 22.595.511 22.917.886 23.027.734 23.132.631 23.187.540
2008 10.532.658 18.559.272 20.661.893 21.237.913 21.946.927 22.260.049 22.366.744 22.468.629 22.521.962
2009 9.587.254 16.160.559 17.988.122 18.824.869 19.453.326 19.730.870 19.825.443 19.915.752 19.963.026
2010 10.773.442 18.566.037 20.942.353 21.916.521 22.648.190 22.971.317 23.081.421 23.186.562 23.241.599
2011 9.358.683 16.477.788 18.586.824 19.451.421 20.100.794 20.387.576 20.485.297 20.578.612 20.627.458

Fuente: Elaboración propia.

En este momento entra en juego la aportación realizada por Mack (1993) para estimar el error de predicción del modelo Chain Ladder.

Los resultados obtenidos con este método, utilizando la Regresión Loglineal para estimar la desviación del último año de desarrollo se observan en el Cuadro 3. Se puede observar como las estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados (IBNR) van ascendiendo a medida que los siniestros ocurren en años más cercanos al actual, al igual que ocurre con su error, existiendo una excepción para los pagos por siniestros en 2006, año en el que el error es inferior al del año anterior. Respecto al coeficiente de variación, se observa cómo va disminuyendo este para los siniestros más recientes, con la excepción del año 2008 en el que el error tiene un mayor peso sobre la media.

Datos obtenidos aplicando la Distribución Libre de Mack por año de ocurrencia.

Años de ocurrencia Pagos actuales Desarrollo actual Pagos estimados IBNR Error Mack CV (IBNR)
2003 25.600.148 1,000 25.600.148 0 0 NaN
2004 23.245.375 0,998 23.300.551 55.176 128.283 2,325
2005 26.764.421 0,993 26.950.158 185.737 193.873 1,044
2006 20.108.031 0,988 20.344.624 236.593 186.788 0,789
2007 22.595.511 0,974 23.187.540 592.029 255.722 0,432
2008 21.237.913 0,943 22.521.962 1.284.049 826.003 0,643
2009 17.988.122 0,901 19.963.026 1.974.904 949321 0,481
2010 18.566.037 0,799 23.241.599 4.675.562 1.155.284 0,247
2011 9.358.683 0,454 20.627.458 11.268.775 1.446.217 0,128

Fuente: Elaboración propia.

Gráficamente podemos ver la evolución de las estimaciones junto con el error asumido por año de ocurrencia (Gráfica 1).

Evolución de las estimaciones junto con el error asumido por año de ocurrencia aplicando la Distribución Libre de Mack. Fuente: Elaboración propia

Analizando los totales obtenemos un error de 2.701.890,84 u.m representando este un 13% sobre la media obtenida con el método Chain Ladder (Cuadro 4).

Por tanto, utilizando la Distribución Libre de Mack, se ha obtenido una estimación de pagos por siniestros de 20.272.824 u.m. y un error de 2.701.891 u.m. siendo el peso de este sobre las estimaciones de un 13,3

Datos obtenidos con la aplicación de la Distribución Libre de Mack. Totales.

Totales
Pagos actuales 185.464.241
Desarrollo actual 0,901
Pagos estimados 205.737.065
IBNR 20.272.824
Error Mack 2.701.891
CV (IBNR) 0,133

Fuente: Elaboración propia.

Respecto al modelo lineal generalizado siguiendo una distribución Poisson con Sobredispersión con enlace logarítmico, se ha obtenido las estimaciones mostradas en el Cuadro 5.

Destaca como los parámetros significativos corresponden con los factores correspondientes al año de desarrollo con un 99% de confianza que son los que influyen en el modelo, siendo el factor dentro de estos menos significativo el correspondiente al último año de desarrollo debido a la menor información respecto a este.

Estimación de los parámetros influyentes en el Modelo Lineal Generalizado con distribución Poisson con Sobredispersión con función de enlace logarítmica.

Parámetros Estimación Error Estándar t-valor Pr(>|t|) Sign.
(Independiente) 16,26779 0,09158 177.631 <2e-16 ***
Factor (orig) 2004 -0,09412 0,12225 -0,77 0,447794
Factor (orig) 2005 0,05139 0,11804 0,435 0,66665
Factor (orig) 2006 -0,22978 0,12725 -1,806 0,081731
Factor (orig) 2007 -0,09898 0,12339 -0,802 0,429199
Factor (orig) 2008 -0,12811 0,12567 -1,019 0,31673
Factor (orig) 2009 -0,24872 0,13192 -1,885 0,069793 .
Factor (orig) 2010 -0,09665 0,13133 -0,736 0,467868
Factor (orig) 2011 -0,21598 0,16679 -1,295 0,205941
Factor (des) 2 -0,27352 0,0708 -3,864 0,000605 ***
Factor (des) 3 -1,49007 0,11549 -12,906 2,63 e-13 ***
Factor (des) 4 -2,3818 0,18192 -13,093 1,86 e-13 ***
Factor (des) 5 -2,66805 0,22619 -11,795 2,23 e-12 ***
Factor (des) 6 -3,48534 0,37301 -9,344 4,21 e-10 ***
Factor (des) 7 -4,56195 0,71398 -6,389 6,40 e-07 ***
Factor (des) 8 -4,60808 0,90945 -5,067 2,31 e-05 ***
Factor (des) 9 -5,25538 1,73446 -3,03 0,005215 **
Cod. Signif. 0 ‘***’ 0,001 ‘**’ 0,01 ‘*’ 0,05 ‘.’ 0,1 ‘ ’

Fuente: Elaboración propia.

Las estimaciones por cada año de ocurrencia obtenidas con el modelo pueden verse resumidas en el Cuadro 6.

En este modelo propuesto por Renshaw y Verrall (1998), las estimaciones obtenidas coinciden con las del método Chain Ladder y por tanto, con las de la Distribución Libre de Mack. En cambio, la estimación del error de predicción difiere de la obtenida en el modelo de Mack, siendo esta cada vez mayor en función de la cercanía de la ocurrencia de los siniestros, al igual que ocurre con el coeficiente de variación.

Datos obtenidos aplicando el Modelo Lineal Generalizado con distribución Poisson con Sobredispersión con función de enlace logarítmica por año de ocurrencia.

Años de ocurrencia Pagos actuales Desarrollo actual Pagos estimados IBNR S.E. CV
2003 25.600.148 1,000 25.600.148 0 0 NaN
2004 23.245.375 0,998 23.300.551 55.176 13.612 2,512
2005 26.764.421 0,993 26.950.158 185.737 242.062 1,303
2006 20.108.031 0,988 20.344.624 236.593 249.663 1,055
2007 22.595.511 0,974 23.187.540 592.029 386.756 0,653
2008 21.237.913 0,943 22.521.962 1.284.049 557.666 0,434
2009 17.988.122 0,901 19.963.026 1.974.904 688.159 0,348
2010 18.566.037 0,799 23.241.599 4.675.562 1.119.050 0,239
2011 9.358.683 0,454 20.627.458 11.268.775 2.250.122 0,200

Fuente: Elaboración propia.

Los totales obtenidos para esta metodología se muestran en el Cuadro 7.

Las estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados utilizando el Modelo Lineal Generalizado con la distribución Poisson con Sobredispersión y enlace con la función logarítmica son de 20.272.824 u.m, con un error de 3.043.902 u.m. representando este respecto a la estimación un 15,01%.

Datos obtenidos aplicando el Modelo Lineal Generalizado con distribución Poisson con Sobredispersión con función de enlace logarítmica. Totales.

Totales
Pagos actuales 185.464.241
Desarrollo actual 0,901462
Pagos estimados 205.737.065
IBNR 20.272.824
S.E. 3.043.902
CV 0,150147

Fuente: Elaboración propia.

Aplicando la propuesta de England (2002) para la estimación de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados y su error suponiendo que los datos siguen una distribución Poisson con Sobredispersión y utilizando un remuestreo de 10.000, obtenemos los resultados expuestos en el Cuadro 8.

En el Cuadro 8 se puede observar las estimaciones de pagos por siniestros y su error. En este caso los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados se mantienen al alza a siniestros más recientes, al igual que su error.

Datos obtenidos aplicando el método Bootstrap con Simulación por año de ocurrencia.

Años de ocurrencia Pagos actuales Pagos estimados Media IBNR IBNR S.E. CV
2003 25.600.148 25.600.148 0 0 NaN
2004 23.245.375 23.300.016 54.641 155.649 2,849
2005 26.764.421 26.948.823 184.405 252.447 1,369
2006 20.108.031 20.346.154 238.123 260.466 1,094
2007 22.595.511 23.183.251 587.740 392.763 0,668
2008 21.237.913 22.516.763 1.278.850 557.560 0,436
2009 17.988.122 19.962.863 1.974.741 693.495 0,351
2010 18.566.037 23.235.930 4.669.893 1.127.181 0,241
2011 9.358.683 20.646.788 11.288.105 2.274.820 0,202

Fuente: Elaboración propia.

Otra cuestión que permite este método es obtener intervalos de confianza, debido a que trabajamos con la función de distribución, podemos establecer en que percentil situarnos para la estimación de pagos por siniestros asumiendo distintos niveles de error (Cuadro 9).

Puede observarse en función de los resultados obtenidos, como las estimaciones de pagos no difieren en exceso con diferentes niveles de confianza, lo cual, disminuye la posibilidad de falta de provisiones.

Percentiles obtenidos aplicando el método Bootstrap con Simulación por año de ocurrencia.

Años de ocurrencia IBNR 25 IBNR 50 IBNR 75 IBNR 95 IBNR 99 IBNR 99,5
2003 0 0 0 0 0 0
2004 0 4.303 69.211 347.263 670.594 818.830
2005 21.040 112.538 279.471 679.071 1.064.548 1.197.634
2006 58.437 170.250 348.673 738.733 1.115.673 1.265.765
2007 298.634 518.609 803.425 1.327.518 1.805.068 1.998.139
2008 874.453 1.206.524 1.603.862 2.292.870 2.843.490 3.094.549
2009 1.474.254 1.909.111 2.398.921 3.231.081 3.920.555 4.190.606
2010 3.884.157 4.583.220 5.355.779 6.656.539 7.631.568 8.177.441
2011 9.804.061 11.103.111 12.473.377 5.287.712 18.678.777 19.724.877

Fuente: Elaboración propia.

Gráficamente estos datos pueden representarse cómo se observa en la Gráfica 2.

Se observa en el histograma como la totalidad de estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados se encuentra entre 10.000.000 y 35.000.000 u.m. siendo los valores más probables los comprendidos entre los 15.000.000 y los 25.000.000 u.m. encontrándose el valor más probable 18.000.000 y 20.000.000 u.m.

Analizando la función de distribución, se observas como a partir de los 25.000.000 u.m., el incremento de la confianza es muy reducido.

Enfocándose en las gráficas Boxplot, se observan bastantes diferencias entre los pagos por siniestros ocurridos en diferentes años, y como su variabilidad aumenta en pagos por siniestros más recientes.

Respecto a la evolución de los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados, se encuentra cierta variabilidad, siguiendo esta una evolución exponencial a siniestros más recientes.

Representación Gráfica de los datos obtenidos aplicando el método Bootstrap con Simulación. Fuente: Elaboración propia.

Analizando las estimaciones totales para el método Bootstrap con Simulación se obtienen los resultados expuestos en el Cuadro 10.

Llama la atención en este caso, la similitud entre la media y la mediana y cómo la diferencia entre los pagos por siniestros obtenidos asumiendo una confianza del 99.5% respecto a la media representa un 47.28%, siendo un valor no muy elevado.

Por tanto con el método Bootstrap con Simulación se han obtenidos unas estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados respecto a la media de 20.276.496 u.m. con un error de 3.062.349 u.m, representando este sobre la media un 15,1%.

Datos obtenidos con el método Bootstrap con Simulación. Totales.

Totales
Pagos actuales 185.464.241
Pagos estimados 205.740.737
Media IBNR 20.276.496
IBNR S.E. 3.062.349
IBNR 25 18.216.263
IBNR 50 20.090.842
IBNR 75 22.109.346
IBNR 95 25.573.786
IBNR 99 28.641.311
IBNR 99,5 29.863.559
CV 0,151

Fuente: Elaboración propia.

4. Análisis de resultados

Una vez aplicados los diferentes métodos se procede a comparar los resultados obtenidos comenzando con los resultados obtenidos respecto a la estimación de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados (Cuadro 11).

La estimación de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados, debido a que tiene por base el método Chain Ladder, el método propuesto por Mack obtiene los mismos resultados que aplicando el Modelo Lineal Generalizado asumiendo una distribución de Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica. No obstante, las diferencias de las estimaciones obtenidas con estos modelos respecto al método Bootstrap con Simulación son muy reducidas, siendo la diferencia mayor en términos porcentuales los pagos estimados para los siniestros ocurridos en 2004, representando la diferencia un 0.97%. En términos absolutos, la diferencia de las estimaciones obtenidas con el Bootstrap con Simulación respecto a los otros métodos es de 3.672 u.m. representando esta un 0.02%.

Por tanto, se puede determinar, en base a la estructura de datos seguida, que los métodos analizados no presentan diferencias importantes en la estimación de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados.

Estimaciones para la media de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados según los métodos analizados.

Años de ocurrencia IBNR Distribución Libre de Mack IBNR GLM Poisson con Sobredispersión y función de enlace logarítmica IBNR Bootstrap con Simulación
2003 0 0 0
2004 55.176 55.176 54.641
2005 185.737 185.737 184.405
2006 236.593 236.593 238.123
2007 592.029 592.029 587.740
2008 1.284.049 1.284.049 1.278.850
2009 1.974.904 1.974.904 1.974.741
2010 4.675.562 4.675.562 4.669.893
2011 11.268.775 11.268.775 11.288.105
Total 20.272.824 20.272.824 20.276.496

Fuente: Elaboración propia.

En el Cuadro 12 se observan los resultados obtenidos para el error de predicción. A diferencia de lo ocurrido con las estimaciones, el error de predicción difiere en los tres métodos. Llama la atención la gran diferencia en el error para los siniestros ocurridos en 2004, siendo el resultado obtenido con el Modelo Lineal Generalizado el que presenta la mayor diferencia siendo un 11,24% menor al error obtenido por el Modelo Lineal Generalizado y un 11,77% inferior al obtenido utilizando Bootstrap. Otra cuestión llamativa, es la mayor estimación del error utilizando la Distribución Libre de Mack para los pagos por siniestros ocurridos desde el 2008 al 2010, aun cuando este método presenta la menor estimación del error de predicción. Por tanto, existen diferencias entre los métodos en cuanto al error de predicción, siendo el método que más se aleja la Distribución Libre de Mack tanto en términos absolutos como en su estructura.

Estimaciones del error de predicción cometido para los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados según los métodos analizados.

Años de ocurrencia IBNR Distribución Libre de Mack IBNR GLM Poisson con Sobredispersión y función de enlace logarítmica IBNR Bootstrap con Simulación
2003 0 0 0
2004 128.283 13.612 155.649
2005 193.873 242.062 252.447
2006 186.788 249.663 260.466
2007 255.722 386.756 392.763
2008 826.003 557.666 557.560
2009 949.321 688.159 693.495
2010 1.155.284 1.119.050 1.127.181
2011 1.446.217 2.250.122 2.274.820
Total 2.701.891 3.043.902 3.062.349

Fuente: Elaboración propia.

En el Cuadro 13, al igual que ocurre con la estimación del error en el Cuadro 12, los valores del coeficiente de variación para los pagos por siniestros ocurridos en diferentes años difieren entre si, presentando la mayor diferencia la Distribución Libre de Mack, presentando valores inferiores en todos los años excepto de 2008 a 2010 al igual que ocurrió con la estimación del error.

Coeficiente de variación obtenidos para los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados aplicando los métodos analizados.

Años de ocurrencia IBNR Distribución Libre de Mack IBNR GLM Poisson con Sobredispersión y función de enlace logarítmica IBNR Bootstrap con Simulación
2003 NaN NaN NaN
2004 2,325 2,512 2,849
2005 1,044 1,303 1,369
2006 0,789 1,055 1,094
2007 0,432 0,653 0,668
2008 0,643 0,434 0,436
2009 0,481 0,348 0,351
2010 0,247 0,239 0,241
2011 0,128 0,200 0,202
Total 0,133 0,150 0,151

Fuente: Elaboración propia.

Si analizamos las correlaciones de los métodos mediante el Coeficiente de Correlación de Pearson, obtenemos que la Distribución Libre de Mack y el Modelo Lineal Generalizado asumiendo una distribución Poisson con Sobredispersión con la función de enlace logarítmica presentan una correlación de un 75,82% y que el método Bootstrap con Simulación obtiene un 75,68%, por tanto, podemos decir que los tres se adecuan para la estimación de los pagos para siniestros ocurridos pero no notificados.

En principio, los resultados obtenidos con los tres métodos son viables, no obstante, hay que tener en cuenta que los tres métodos no se pueden aplicar en todas las situaciones posibles, este es el caso de la Distribución Libre de Mack, la cual, no es posible aplicar cuando existen reservas negativas, lo cual limita su aplicación debido a que en las compañías aseguradoras se da esta situación con bastante asiduidad.

5. Conclusiones

La estimación de las provisones técnicas exigidas por la Directiva Europea Solvencia II se ven influenciadas por la diversidad de métodos para la obtención de las estimaciones de pagos por siniestros futuros.

En base a los tres métodos analizados, cabe mencionar que las diferencias obtenidas para la estimación de los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados no son significativas, siendo las estimaciones de pagos iguales con el Modelo Lineal Generalizado asumiendo una distribución Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica y la Distribución Libre de Mack, debido a que dichas estimaciones coinciden con las obtenidas por el método Chain Ladder. A su vez, son muy similares a las obtenidas con el método Bootstrap con Simulación.

En cuanto al error estimado con estos métodos, se encuentran diferencias notables, siendo el que más se aleja la estimación del error de predicción realizada por la Distribución Libre de Mack, siendo la estructura seguida por los otros dos métodos similar con pequeñas diferencias.

En base a los resultados obtenidos, podemos determinar que los tres métodos son viables para la estimación de las provisiones técnicas. Sin embargo, si tenemos en cuenta las características de cada metodología, la Distribución Libre de Mack presenta la limitación de no poderse aplicar en el caso de que existan factores de desarrollo inferiores a 1.

En cuanto a la utilización del Modelo Lineal Generalizado con la distribución Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica, esta, al igual que con otras distribuciones, se basa en la utilización de la media y la varianza para la obtención de la media y el error de predicción, lo cual, limita la precisión.

El método Bootstrap con Simulación pese a que sus estimaciones difieren levemente de las obtenidas con el método Chain Ladder, trabaja con la distribución predictiva completa para la obtención de dicha estimación y su error de predicción.

Por todo lo anterior, a pesar de que todos los métodos son adecuados para la estimación de provisiones técnicas, nos decantamos por el método Bootstrap con Simulación como el método más apropiado.

A pesar de que el análisis comparativo ha sido realizado teniendo en cuenta las estimaciones para la media, resulta interesante la aplicación de otra medida para la constitución de las provisiones técnicas. Observando los datos obtenidos aplicando el método Bootstrap con Simulación, vemos la similitud entre los resultados obtenidos con la media y el percentil 50. Aquí entra un juego un debate de cual medida sería la más adecuada para representar las provisiones técnicas. Si los datos tratados siguen una distribución normal, poco probable en la realidad, la utilización de la media puede ser una buena opción debido a su facilidad de tratamiento posterior. Sin embargo, si los datos no siguen una distribución normal y se encuentran en los extremos valores negativos o excesivamente elevados, el percentil 50 resulta una medida más adecuada para tomar en consideración en el establecimiento de las provisiones técnicas. Tomando en consideración que es habitual que en las entidades aseguradoras los datos de pagos por siniestros no sean homogéneos, siendo habitual encontrar valores extremos con una baja probabilidad de ocurrencia, consideramos como medida más adecuada para el establecimiento de las provisiones técnicas la mediana, siendo útil para prevenir el riesgo de insolvencia o de ineficacia en la utilización de los recursos.

 References [1] Albarrán Lozano, I., Alonso González, P. (2010). Métodos estocásticos de estimación de las provisiones técnicas en el marco de Solvencia II. Fundación MAPFRE, Instituto de Ciencias del Seguro. Albarrán Lozano I. Alonso González P. 2010 Métodos estocásticos de estimación de las provisiones técnicas en el marco de Solvencia II Fundación MAPFRE, Instituto de Ciencias del Seguro [2] Boj, E., & Costa, T. (2017). Provisions for claims outstanding, incurred but not reported, with generalized linear models: prediction error formulated according to calendar year. Cuadernos de gestión, 17(2), 157-174. https://doi.org/10.5295/cdg.150526eb Boj E. Costa T. 2017 Provisions for claims outstanding, incurred but not reported, with generalized linear models: prediction error formulated according to calendar year Cuadernos de gestión 17 2 157 174 10.5295/cdg.150526eb [3] Boj del Val, E., Costa Cor, T., & Espejo Fernández, J. (2014). Provisiones técnicas por años de calendario mediante modelo lineal generalizado: una aplicación con Rexcel. Anales del Instituto de Actuarios Españoles, 20, 83-116. Boj del Val E. Costa Cor T. Espejo Fernández J. 2014 Provisiones técnicas por años de calendario mediante modelo lineal generalizado: una aplicación con Rexcel Anales del Instituto de Actuarios Españoles 20 83 116 [4] Carrato, A., Concina, F., Gesmann, M., Murphy, D., Wüthrich, M., & Zhang, W. (2015). Claims reserving with R: ChainLadder- 0. 2. 2. Package Vignette. R-project. Disponible en: https://cran.rproject.org/web/packages/ChainLadder/vignettes/ChainLadder.pdf. Carrato A. Concina F. Gesmann M. Murphy D. Wüthrich M. Zhang W. 2015 Claims reserving with R: ChainLadder- 0. 2. 2. Package Vignette R-project https://cran.rproject.org/web/packages/ChainLadder/vignettes/ChainLadder.pdf [5] Efron, B. (1979). Bootstrap methods: Another look at the jackknife. The Annals of Statistics, 7, 1-26. https://doi.org/10.1214/aos/1176344552 Efron B. 1979 Bootstrap methods: Another look at the jackknife The Annals of Statistics 7 1 26 10.1214/aos/1176344552 [6] England, P. (2002). Addendum to “Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving”. Insurance: Mathematics and Economics, 31(3), 461-466. https://doi.org/10.1016/s0167-6687(02)00161-0 England P. 2002 Addendum to “Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving” Insurance: Mathematics and Economics 31 3 461 466 10.1016/s0167-6687(02)00161-0 [7] England, P., & Verrall, R. (1999). Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving. Insurance: Mathematics and Economics , 25(3), 281-293. https://doi.org/10.1016/s0167-6687(99)00016-5 England P. Verrall R. 1999 Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving Insurance: Mathematics and Economics 25 3 281 293 10.1016/s0167-6687(99)00016-5 [8] Lowe, J. (1994). A practical guide to measuring reserve variability using: Bootstrapping, operational time and a distribution free approach. In Proceedings of the 1994 General Insurance Convention. Institute of Actuaries and Faculty of Actuaries. Lowe J. 1994 A practical guide to measuring reserve variability using: Bootstrapping, operational time and a distribution free approach Proceedings of the 1994 General Insurance Convention Institute of Actuaries and Faculty of Actuaries [9] Mack, T. (1993). Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates. ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA, 23(2), 213-225. https://doi.org/10.2143/ast.23.2.2005092 Mack T. 1993 Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA 23 2 213 225 10.2143/ast.23.2.2005092 [10] Mack, T. (1994). Measuring the variability of chain ladder reserve estimates. In Casualty Actuarial Society Forum (Vol. 1, No. 1, pp. 101-83). https://doi.org/10.1016/0167-6687(94)90721-8 Mack T. 1994 Measuring the variability of chain ladder reserve estimates Casualty Actuarial Society Forum 1 1 101 183 10.1016/0167-6687(94)90721-8 [11] McCullagh, P., & Nelder, J. A. (1989): Generalized Linear Models. New York: Chapman and Hall. McCullagh P. Nelder J. A. 1989 Generalized Linear Models New York Chapman and Hall [12] Parlamento Europeo y Consejo de la Unión Europea., 2009. Directiva 2009/138/CE, de 25 de noviembre de 2009, sobre el seguro de vida, el acceso a la actividad de seguro y de reaseguro y su ejercicio (Solvencia II). Parlamento Europeo y Consejo de la Unión Europea 2009 Directiva 2009/138/CE, de 25 de noviembre de 2009, sobre el seguro de vida, el acceso a la actividad de seguro y de reaseguro y su ejercicio (Solvencia II) [13] Paule-Vianez, J., Coca-Pérez, J. L., & Granado-Sánchez, M. (2019). Estimación del riesgo de reserva con Solvencia II: Distribución Libre de Mack vs Bootstrap con Simulación. Revista Espacios, 40(18), 10-22. Paule-Vianez J. Coca-Pérez J. L. Granado-Sánchez M. 2019 Estimación del riesgo de reserva con Solvencia II: Distribución Libre de Mack vs Bootstrap con Simulación Revista Espacios 40 18 10 22 [14] Paule Vianez, J., Granado Sánchez, M., & Coca Pérez, J. L. (2018). Método Bootstrap para el cálculo de provisiones técnicas por siniestros. Cuadernos de Gestión, 18(2), 163-184. https://doi.org/10.5295/cdg.150609jp Paule Vianez J. Granado Sánchez M. Coca Pérez J. L. 2018 Método Bootstrap para el cálculo de provisiones técnicas por siniestros Cuadernos de Gestión 18 2 163 184 10.5295/cdg.150609jp [15] Renshaw, A. E., & Verrall, R. J. (1998). A stochastic model underlying the chain-ladder technique. British Actuarial Journal, 4(4), 903-923. https://doi.org/10.1017/s1357321700000222 Renshaw A. E. Verrall R. J. 1998 A stochastic model underlying the chain-ladder technique British Actuarial Journal 4 4 903 923 10.1017/s1357321700000222 [16] Slim, N., & Mansouri, F. (2015). Reserve Risk Analysis and Dependence Modeling in Non-Life Insurance:“The Solvency II Project”. Journal of Applied Economic Sciences, 10(7), 1125-1144. Slim N. Mansouri F. 2015 Reserve Risk Analysis and Dependence Modeling in Non-Life Insurance:“The Solvency II Project” Journal of Applied Economic Sciences 10 7 1125 1144 [17] Solanas, A., & Olivera, V. (1992). Bootstrap: fundamentos e introducción a sus aplicaciones. Anuario de psicología/The UB Journal of psychology, (55), 143-154. Solanas A. Olivera V. 1992 Bootstrap: fundamentos e introducción a sus aplicaciones Anuario de psicología/The UB Journal of psychology 55 143 154 [18] Taylor, G. C., & Ashe, F. R. (1983). Second moments of estimates of outstanding claims. Journal of Econometrics, 23(1), 37-61. Show more https://doi.org/10.1016/0304-4076(83)90074-X Taylor G. C. Ashe F. R. 1983 Second moments of estimates of outstanding claims Journal of Econometrics 23 1 37 61 10.1016/0304-4076(83)90074-X [19] Wüthrich, M. V. (2008). Prediction error in the chain ladder method. Insurance: Mathematics and Economics , 42(1), 378-388. https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2007.05.002 Wüthrich M. V. 2008 Prediction error in the chain ladder method Insurance: Mathematics and Economics 42 1 378 388 10.1016/j.insmatheco.2007.05.002

Sin fuente de financiamiento para el desarrollo de la investigación

Enlaces refback

  • No hay ningún enlace refback.


Licencia de Creative Commons
Este obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 4.0 Internacional.
Métricas de artículo
Cargando métricas ...

Metrics powered by PLOS ALM


Licencia de Creative Commons
Este obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 4.0 Internacional.