Modelos Browniano Geométrico y Browniano Aritmético

2.1.1. Modelo Browniano Geométrico

En cada periodo existen dos posibilidades, el valor del activo puede subir en un factor u, u > 1 , o bien bajar en un factor d, d < 1 . El modelo binomial se basa en un proceso Bernoulli; acorde con el cual, los choques al alza y a la baja se determinan de la siguiente manera:

u

es el choque al alza que seguirá el subyacente

d

es el choque a la baja que seguiría el subyacente

σ

es la volatilidad (desviación estándar) de la serie de tiempo del subyacente, la cual se mantiene fija a lo largo del periodo de la valuación

Para obtener los choques al alza y a la baja, se calculó su volatilidad con el modelo GARCH (1,1) (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), partiendo como punto inicial, el valor obtenido con el modelo de Flujos de Efectivo Descontados, acorde con esa premisa se elaboró el árbol de las Opciones Reales, asumiendo que el proceso estocástico se comporta como una submartingala, dado que se valuó como una opción americana.

En la siguiente sección se expondrá brevemente cómo se determinó la volatilidad para el modelado de las Opciones Reales bajo el proceso en comento; mientras que en la 2.1.2 se explicará el modelo en tiempo discreto, para valuar una opción, dicho modelo fue aplicado para estimar el valor de mercado del capital accionario, tanto bajo el proceso Browniano Geométrico como el Browniano Aritmético. Este último con la solución propuesta por Alexander et al. (2012), el cual será explicado más adelante.

2.1.1.1. Cálculo de la volatilidad modelo Browniano Geométrico

Para estimar la volatilidad histórica de una serie de tiempo, se toma un intervalo fijo (ej. diaria, semanal, mensual, etc.).

Sea:

n es el número de observaciones.

S i el valor del instrumento al final del i t h intervalo.

τ la longitud del intervalo en años.

El rendimiento correspondiente a un periodo de i = 1,2, … n , de un instrumento se calcularía de la siguiente forma:

Ya que S i = S i − 1 e u i , es el valor del subyacente incrementado de forma continua (no anualizado) en el i t h intervalo. El estimador utilizado generalmente para obtener la desviación estándar de u i es:

o bien,

Dónde:

u ¯ es la media de las u i ' s

n es el número de las observaciones.

La desviación estándar del cambio proporcional del precio de un instrumento en un pequeño intervalo de tiempo Δ t es σ Δ t , lo cual es una aproximación de la desviación estándar del cambio proporcional en el precio del instrumento sobre un largo periodo de tiempo T: σ T .

Dado que s es un estimador de σ T , σ puede ser aproximada como σ * de la siguiente forma:

Cabe señalar que la s no cambia a través del tiempo, y los datos muy antiguos no resultan muy relevantes para predecir el futuro. Es por ello que resulta imperante utilizar la volatilidad dinámica o bien modelos más sofisticados como son el Autorregresivo de Heteroscedasticidad Condicional, conocido por sus siglas en inglés como ARCH o el modelo Generalizado Autorregresivo de Heteroscedasticidad Condicional, conocido por sus siglas en inglés como GARCH.

Bollerslev (1986) extendió el trabajo de Engel desarrollando una técnica que le permite a la varianza condicional ser un proceso ARMA, siendo el proceso del error el siguiente:

Dónde:

Ya que v t es un proceso de ruido blanco, independiente de las realizaciones pasadas por lo tanto su media condicional e incondicional es igual a 0.

El modelo general ARCH(p,q) es llamado Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic GARCH(p,q), e incorpora tanto los componentes autorregresivos como de medias móviles en la varianza heteroscedástica.

Es condición que todos los coeficientes de la ecuación anterior deben ser positivos, y para asegurar que la varianza sea finita, las raíces características deben encontrarse dentro del círculo unitario.

El factor clave de este modelo es que la varianza condicional de las perturbaciones de la secuencia de y t constituyan un proceso ARMA (Autorregresivo y de Promedios Móviles).

El modelo GARCH(1,1) fue propuesto por Bollerslev en 1986. Este calcula σ n 2 a partir del promedio de la varianza de largo plazo V, así como de σ n − 1 2 y de u n − 1 . La ecuación que le representa es la siguiente:

Donde es la ponderación que se le da a V, α es la ponderación otorgada a u n − 1 2 , y β es la ponderación aplicada sobre σ n − 1 2 , las ponderaciones deben sumar 1.

Estableciendo ω como γ V, este modelo puede ser escrito de la siguiente manera:

Una vez estimados los coeficientes de la ecuación, es posible obtener la varianza de largo plazo dividiendo: ω 1 − α − β . Para la estimación de estos parámetros se puede aplicar el método de máxima verosimilitud (maximum likelihood), en el cual se obtienen los valores de los parámetros de forma que se maximice la probabilidad de ocurrencia de los datos.

2.1.2. Valuación de Opciones en Tiempo Discreto, Modelo Binomial

Una técnica muy utilizada para describir el proceso que sigue una opción sobre un activo subyacente es el modelo binomial, el cual consiste en construir un árbol binomial, con el que se muestra las diferentes trayectorias que puede seguir el subyacente durante la vida de la opción. Esta propuesta es similar a la realizada por John Carrington Cox, Stephen Ross y Mark Edward Rubinstein en 1979. El valor de la opción puede obtenerse a través del modelo binomial o calculando el portafolio de réplica.

Un argumento similar puede ser utilizado para las opciones, pero es necesario suponer que no existen oportunidades de arbitraje, “No existen oportunidades de arbitraje si y sólo si existe una medida de probabilidad neutral al riesgo²“ (Pliska, 1998).

Para soportar lo anterior, también es importante suponer que los individuos son neutrales al riesgo³, por lo que no es indispensable que una inversión ofrezca una prima adicional por el riesgo tomado, en consecuencia, la tasa mínima de retorno que se espera sobre una inversión es la tasa libre de riesgo y el valor futuro de las opciones deberá ser descontado a esta tasa.

Pero tanto el mercado como los compradores deben evitar que sea un medio para obtener ganancias extranormales, para lo cual se deben eliminar todas las posibles oportunidades de arbitraje.

Por dicha razón, el valor de este instrumento debe ser el “justo”, es decir, el que sea percibido todo el mercado. Para conocer ese valor deben aislarse todos los posibles factores de subjetividad, como es el caso de la tasa de descuento utilizada de acuerdo con el grado de aversión al riesgo de cada inversionista; el modelo que toma en cuenta este problema es el de la valuación por “martingala⁴“, el cual descuenta los valores esperados a la tasa libre de riesgo y bajo unas probabilidades sintéticas “probabilidad neutral al riesgo” (q), las cuales se encuentran determinadas por u, d y la tasa libre de riesgo (r).

La incorporación de la volatilidad en la fórmula de la probabilidad neutral al riesgo, mediante los parámetros u y d, los cuales se calculan como se mostró anteriormente.

Una vez calculados dichos parámetros, puede determinarse la prima de la opción. El primer paso consiste en modelar la trayectoria que seguirá el valor del subyacente durante la vigencia de la opción. Este valor puede aumentar en u o bajar a d.

Posteriormente se elabora el árbol de la opción, comenzando con los últimos nodos del árbol. Se determinará para cada uno de los nodos finales el valor intrínseco de la opción (el máximo entre la diferencia del subyacente y el precio de ejercicio o cero). Cabe señalar que la metodología seguida para determinar el valor de las opciones fue aplicada al ser modeladas como un Movimiento Browniano Geométrico así como un Movimiento Browniano Aritmético.

En una opción americana, el poseedor tiene el derecho de ejercer la opción en cualquier momento τ , si se realiza el contrato en el tiempo t, y la madurez es en el tiempo T, el ejercicio puede efectuarse en el lapso t ≤ τ ≤ T . Un proceso de este tipo se diferencia de la martingala en que el valor esperado puede ser mayor o igual que el valor actual.

La mecánica para determinar el valor de una opción americana es similar al de la europea, varía únicamente en el cálculo de los nodos intermedios, ya que por las características de estas opciones el poseedor de la posición larga puede ejercerla en cualquier momento hasta su vencimiento, por lo anterior puede escoger el máximo entre el valor intrínseco de la opción y el valor descontado bajo la probabilidad neutral al riesgo.

2.1.3. Modelo Browniano Aritmético

Como se comentó con anterioridad, un supuesto estándar cuando se valúan las Opciones Financieras en mercados de activos negociables es que el precio del subyacente se comporta como un Movimiento Browniano Geométrico.

No obstante, como lo mencionan Copeland y Antikarov (2001, Capítulo 5) el valor de los flujos de efectivo de una empresa o proyecto pueden ser negativos, lo cual por consecuencia tiene una implicación de gran relevancia para las Opciones Reales. Derivado de lo anterior proponen modelarlo como un proceso aditivo, es decir como un Movimiento Browniano Aritmético, bajo el cual, aunque el valor inicial sea positivo, se puede tornar en algún momento de la trayectoria de la valuación negativo. Alexander, Mo y Stent (2012) efectúan la derivación partiendo del supuesto de neutralidad al riesgo, y por consecuencia del descuento de los flujos del árbol de las opciones bajo una probabilidad neutral al riesgo, así como el uso de la tasa libre de riesgo para descontar dichos flujos.

Considerando que el subyacente se comporta como un Movimiento Browniano Aritmético (MBA), el cambio en el valor inicial del proyecto V 0 en los periodos posteriores V t estaría dado por la siguiente ecuación estocástica:

Con α y β > 0 constantes y siendo Z t un proceso browniano estándar con medida de probabilidad objetiva p.

El MBA es apropiado cuando los cambios en el valor de un proyecto pueden ser representados como la suma de una tendencia lineal y ruidos blancos aditivos, asimismo el pronóstico de los valores futuros en el tiempo puede ser modelado como una distribución de probabilidad normal. La distribución normal permite valores negativos de los proyectos.

De igual forma proponen que los flujos de efectivo libres sean formulados inicialmente como un rendimiento por dividendos (dividend yield) pagando una tasa constante δ ≥ 0 , calculados sobre el importe de valor del proyecto o de los flujos de efectivo V t . En forma diferencial el proceso del dividendo se representaría de la siguiente manera:

De conformidad con la fórmula de Black y Scholes, un bono con un rendimiento constante, compuesto continuamente a la tasa nominal r > 0 por unidad de tiempo, el cual es aplicado en un mercado secundario normalizado. El proceso de ganancias descontadas en la ecuación diferencial se representa de la siguiente manera.

Como se puede ver en la ecuación anterior, el cambio diferencial en la ganancia es igual a la variación en el tiempo en el valor de los flujos a valor presente más los cambios diferenciales en los dividendos.

Al aplicar la regla del producto y sustituyendo en el proceso del valor (ecuación (12)) y el proceso del dividendo (ecuación (13)), se obtiene la siguiente ecuación diferencial.

Dónde:

Cabe recordar que α y β son constantes >0 definidas en la ecuación diferencial estocástica del valor del proyecto (Ecuación (12)).

Acorde a lo establecido por Alexander et al. (2012) por el teorema de Girsanov⁵ se puede demostrar la existencia de una medida de probabilidad neutral al riesgo, q, para cualquier nuevo proceso d Z t * , siendo éste un movimiento Browniano estándar.

Adicionalmente dichos autores establecen que con el propósito de derivar las fórmulas analíticas de un Call y Put Europeos, así como la distribución de V t bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo q, resulta necesario reajustar la ecuación (15) de la siguiente forma:

Esta es una ecuación de Langevin y tienen solución (Karatzas y Shreve (1991)).

En el tiempo t acorde a una medida de probabilidad neutral al riesgo q, V t es una variable aleatoria normal con media μ t y varianza ∑ t 2 ‍ , aplicando la isometría de Ito (Óksendal, (1998)).

μ t = e r - δ V 0 (47) Tasa del incremento en el valor del proyecto promedio.

∑ t 2 ‍ = β 2 2 r - δ e 2 r - δ t - 1 si r ≠ δ volatilidad del proyecto

2.1.4. Modelado de las salidas de efectivo con una función ajustada

Considerando que un Call o Put europeo con madurez t unidades de tiempo, con precio de ejercicio igual a K tiene un valor contingente dado por la expresión m a x V t − K ,0 para los Call o el m a x K − V t ,0 para los Put. Así como salidas constantes de efectivo proporcionales al valor de un proyecto V t debido a los pagos de dividendos, Alexander et al. (2012) modelaron la opción como un movimiento Browniano y a las salidas de flujo de efectivo se les incorporó cierta flexibilidad mediante una función ajustada, de la manera en que se muestra a continuación.

La función g t es escalonada determinística, la cual muestra el valor remanente del proyecto después de la salida de los flujos de efectivo. El complemento 1 − g t es la proporción que ha sido pagada en efectivo en el tiempo t. Mientras que el valor remanente del proyecto es denotado como V t g . Dicho valor remanente del proyecto sería de la siguiente forma:

La función g t es establecida como no negativa y no creciente en el tiempo; con g 0 = 1 . En el caso de que el proyecto o empresa tenga una vida finita T sin valor terminal, la función g T = 0 . Asimismo, dicha función posee brincos en tiempo discreto, los cuales se encuentran pre-determinados.

2.1.4.1. Fórmulas de los Calls y Puts sobre activos escalonados

Un Call y Put europeo sobre un activo escalonado, con vencimiento en el tiempo τ y precio de ejercicio K, tiene un valor intrínseco igual al max V τ g − K ,0 para un Call o max K − V τ g ,0 para el Put. Sus valores respectivamente, descontados a la tasa libre de riesgo, incorporando la proporción que representa la salida de efectivo y bajo la probabilidad neutral al riesgo serían de la siguiente forma:

2.1.4.2. Desarrollo del modelo en tiempo discreto

En este trabajo se aplicó el análisis en tiempo discreto, por lo cual las opciones se valuaron como americanas. Al utilizar el modelo binomial se facilita el modelado, ya que pueden evaluarse como Europeas y/o Americanas.

Las salidas de efectivo modeladas dentro del árbol binomial se realizan de una forma escalonada, la nueva escala de tiempo se encuentra definida por una función estrictamente creciente b:

El nuevo rango del lapso de tiempo escalonado es: sϵ b 0 , b τ = 0 , b τ . Lo cual, acorde con Alexander et al. (2012) estos puntos serán necesarios para invertir la escala de tiempo original, para ello la función inversa de b es requerida, a la cual se le denotará como:

La aproximación del tiempo para el modelo binomial se puede definir como un movimiento Browniano en el intervalo 0, b τ en N intervalos de longitud constante k = b t / N , generando puntos de tiempo n k para n = 0, … N . En cuyo caso el choque al alza se obtendría de la siguiente forma: u = k , acorde con el cual son igualmente probables los choques al alza como a la baja por unidad de tiempo k. A continuación, se presentan las imágenes de los árboles binomiales bajo un Movimiento Browniano Aritmético. La relación entre el lapso de tiempo entre los nodos es mostrada en la Imagen 1, esto con el objeto de completar la construcción y obtener el árbol binomial que simule la trayectoria representada en la ecuación (23). Para aproximar todos los nodos mostrados en uno de los periodos de tiempo de la ecuación estocástica (24) la n es multiplicada por e r − δ α n k (Imagen 2).

[Figure ID: f1] Imagen 1.

Recombinación del árbol binomial para una proceso browniano estándar de conformidad con la ecuación (23)

  — Fuente: Alexander et al. (2012) .

[Figure ID: f2] Imagen 2.

Recombinación del árbol acorde con la ecuación (24)

  —Fuente: Alexander et al. (2012) .

A continuación, se describe la metodología seguida, así como los resultados de la aplicación empírica de los modelos explicados en esta sección, pero considerando la información de empresas mexicanas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores.

3.1.1. Valor Presente (VP)

El valor presente de un importe a pagar en períodos futuros, es la cantidad que si se tuviera disponible hoy, crecería hasta igualar la suma futura. Esto significa que éste se calcula mediante un proceso de descuento de los flujos a recibir en un futuro a la tasa de interés ofrecida por alternativas comparables, según se muestra a continuación:

VP

es el Valor Presente.

VF

es el Valor Futuro

i

es la tasa de descuento, representa el costo de oportunidad de la inversión

Si los flujos futuros comprenden varios períodos entonces:

n

número de períodos

El concepto de valor presente es muy importante ya que en las decisiones de inversión, financiamiento y política de dividendos necesariamente se ven involucrados flujos de dinero a recibir o pagar en un futuro o ambos.

El valor presente de una serie de flujos es sino la suma de los valores futuros de cada uno de los pagos, según se muestra a continuación:

Si los flujos de efectivo a recibir o a pagar se realizan durante un número infinito de períodos entonces el término usado es la perpetuidad y la fórmula para el cálculo de su valor presente es simplemente el valor de la cantidad recibida cada período (A) entre la correspondiente tasa de interés (i):

Es importante mencionar que la fórmula de perpetuidad calcula el VP del total de flujos un periodo atrás del momento en que se comienzan a recibir o a pagar estos flujos. Por ejemplo, si se tiene que pagar una cantidad constante a perpetuidad a partir del próximo año y se aplica la fórmula anterior para obtener el valor presente de los flujos, el resultado estaría a pesos de hoy, pero si el flujo se comienza a pagar a partir del segundo año, entonces el valor presente de los flujos a perpetuidad estará a pesos del próximo año.

Una vez que se explicaron los elementos importantes en el cálculo del valor del dinero en el tiempo se hará una breve descripción del modelo de Flujo de Efectivo Libre Descontado (FED) como herramienta de valuación.

3.1.2. Flujo de Efectivo Libre Descontado (FED)

Existen diversas formas de aplicar el modelo de FED; sin embargo, el enfoque empresarial es el más utilizado en la práctica. Esta perspectiva valúa el capital de la compañía como el valor de las operaciones de la empresa menos el valor de la deuda y otras obligaciones con mayor preferencia al capital común (como acciones preferentes). Puede aplicarse a diferentes niveles, es decir puede emplearse en toda la compañía o sobre unidades individuales y es consistente con el proceso de presupuesto de capital de la mayoría de las compañías. A este respecto, para poder calcular el FED, se debe obtener el Flujo de Efectivo Libre (FEL), mismo que resulta del siguiente proceso: restar a la utilidad operativa los impuestos operativos, posteriormente sumar a la utilidad operativa después de impuestos las partidas virtuales, obteniendo así el flujo bruto. A este flujo se le suman o restan (según sea el caso) los cambios en el capital de trabajo neto⁶ y finalmente se suman/restan los cambios en la propiedad, planta y equipo.

Por lo tanto, el FEL es el flujo disponible que tiene la empresa para cubrir los costos de sus fuentes de financiamiento y/o amortizar deuda y/o repartir dividendos.

Este flujo de efectivo se calculó para cada una de las 40 entidades seleccionadas, proyectando cada uno de sus elementos anualmente por el lapso de tiempo de 2019 a 2028. En primera instancia se aplicó el modelo de Flujos de Efectivo Descontados, para ellos, los ingresos se estimaron con el modelo de Winters-Multiplicativo. Posteriormente se obtuvieron los costos y gastos operativos como una proporción histórica de los ingresos, la cual se mantuvo constante a lo largo del periodo de la proyección.

El capital de trabajo neto y los gastos de capital se proyectaron tomando la relación entre: ingresos operativos con cuentas por cobrar (ingresos por cuentas por cobrar), inventarios con el costo de ventas; otros activos corrientes con ingresos y cuentas por pagar con el costo de ventas. Las inversiones en propiedad, planta y equipo para la producción y mejora se determinaron mediante su relación con los ingresos. En consecuencia, se utilizaron las siguientes razones financieras:

Para la proyección de las inversiones en propiedad, planta y equipo se utilizó la rotación de propiedad, planta y equipo (la relación entre los ingresos y la propiedad, planta y equipo).

Una vez proyectados los flujos de cada periodo, se tomó el del último año proyectado de forma explícita como una perpetuidad sin crecimiento. Como se mencionó la perpetuidad, trae a valor presente un periodo el importe de los flujos que se generarán a perpetuidad, por lo cual, este valor se descontó posteriormente a pesos de 2019. Asimismo, cada uno de los flujos se descontaron a pesos de 2019, finalmente al sumarse, se obtuvo el valor de mercado de la empresa. A dicho importe se le restó el valor de la deuda con costo reportado en el estado de situación financiera al 31 de diciembre de 2018, obteniendo con ello el valor de mercado del capital accionario.

Por consistencia con la definición de flujos de efectivo, la tasa de descuento aplicada usualmente al FEL debe reflejar el costo de oportunidad de los acreedores y accionistas ponderado por la proporción que su aportación hace al financiamiento de la empresa con respecto al valor total. Esta tasa es denominada por sus siglas en inglés como WACC (Weighted Average Cost of Capital) y se calcula de la siguiente manera:

Dónde:

K d * representa el costo de la deuda, el cual puede ser medido a través de la obtención de la tasa implícita en los desembolsos futuros provenientes del pago de intereses y capital, menos los beneficios fiscales que proporcionan la parte deducible de los intereses a cargo.

VD valor de mercado de la deuda.

VA Valor del mercado del capital accionario.

VF es la suma de VD y VA es decir el valor de mercado de la empresa.

E r j es la tasa mínima de retorno que esperan los accionistas de acuerdo con el riesgo que representa esta inversión. Este costo puede ser aproximado a través del modelo conocido por sus siglas en inglés como CAPM (Capital Asset Pricing Model), el cual mide la relación riesgo-rendimiento, es decir, la tasa de retorno esperada sobre una acción es igual a la tasa libre de riesgo (el premio por el cambio del consumo de hoy por el consumo de mañana) más una prima por riesgo (es la compensación por el riesgo de tomar la inversión):

Dónde:

E r j representa el rendimiento esperado sobre la inversión j, tal que j = 1, … n .

R f tasa libre riesgo, se consideró el rendimiento promedio anual ofrecido por la tasa de bonos gubernamentales a 10 años emitidos por el Gobierno Federal de los Estados Unidos Mexicanos, por el periodo comprendido de enero de 2008 a diciembre de 2018.

R m representa el rendimiento esperado de una amplia cartera de acciones en el mercado. En este caso se utilizó el S&P/BMV IPC sobre el cual se calculó el rendimiento ofrecido por el mismo, utilizando consistentemente la serie de tiempo mensual de enero de 2008 a diciembre de 2018, posteriormente este rendimiento se anualizó de forma simple. Ambos parámetros se obtuvieron de la página de Internet del Banco de México.

Beta es una medida del riesgo que refleja la sensibilidad del precio de las acciones de una empresa ante los movimientos del mercado de valores en su conjunto. En este estudio en particular como todas las entidades que cotizan en la BMV su beta se obtuvo de la base de Bloomberg.

La WACC se determinó tomando los valores de la deuda con costo, así como del capital contable, tomados del estado de situación financiera al 31 de diciembre de 2018. Debido a que no se poseía la información detallada del costo de la deuda, éste se aproximó dividiendo el importe de los gastos por intereses del último ejercicio reportado (2018) entre el saldo del pasivo con costo.

3.1.2.1. Método de Winters

De conformidad con la serie de tiempo de ingresos de cada una de las 40 empresas seleccionadas, se proyectaron por el periodo comprendido del primer trimestre de 2019 al cuarto trimestre de 2028 con el modelo de Holt-Winters. Este método estudia la serie temporal, y la divide en tres componentes: lineal, cíclico y de tendencia. Esta metodología disminuye los componentes cíclicos y de tendencia en comento, mediante un índice de tendencia y variables decrecientes. Se aplican cinco ecuaciones, las que se presentan a continuación.

1. Serie exponencial disminuida.
2. Pronóstico de la tendencia.
3. Pronóstico cíclico.
4. Pronóstico de la estacionalidad.
5. Serie previsión, p, periodos en el futuro.

Se calcularon los componentes aplicando la metodología de máxima verosimilitud, con el fin de minimizar la varianza residual.

A continuación (Tabla 2), se presenta el valor de mercado de cada una de las empresas, calculado con el modelo de Flujos de Efectivo Descontados, así como el costo promedio ponderado de capital (WACC).

Una vez que se determinó el valor de cada una de las empresas con el modelo de Flujos de Efectivo Descontados, se calculó su volatilidad a través del método de GARCH (1,1), mediante la cual se obtuvieron los choques al alza y a la baja de cada empresa, así como la probabilidad neutral al riesgo (ecuaciones (1), (2) y (11)). Se elaboró el árbol binomial teniendo como valor inicial el proveniente de descontar los flujos de efectivo libres con la WACC, pero en este caso, el modelado se realizó siguiendo la trayectoria de un Movimiento Browniano Geométrico y posteriormente se determinó el árbol de las Opciones Reales considerando únicamente las opciones de expansión y contracción. El incremento/decremento porcentual en el flujo de efectivo de cada uno de los nodos se obtuvo calculando el coeficiente de correlación entre las inversiones de capital y el flujo de efectivo operativo, por los trimestres correspondientes de 2009 a 2018, estos porcentajes se obtuvieron para cada una de las compañías.

Resulta muy importante señalar que para descontar los flujos de las opciones, de conformidad con lo establecido por Trigeorgis (1996) y Alexander et al (2011) se aplica la probabilidad neutral al riesgo y la tasa libre de riesgo, es este caso se utilizó el rendimiento que brindan los bonos a 10 años emitidos por el Gobierno Federal Mexicano en febrero de 2019, 8.49 En la Tabla 3 se muestra el valor de mercado del capital accionario mediante las Opciones Reales como un proceso Browniano Geométrico, así como la volatilidad calculada con la ecuación (10).

En todos los casos el valor presente expandido es superior al valor obtenido a través del modelo de flujos descontados, lo cual se origina por la flexibilidad que posee la administración de expandir la empresa si la economía está en auge, o bien de contraer la escala de producción si el país se encuentra en recesión. De acuerdo con Trigeorgis (1999) en este análisis se confirma a mayor volatilidad es superior el valor presente expandido, y consecuentemente, el valor de mercado del capital accionario.

En el caso de la elaboración de las Opciones Reales siguiendo un Movimiento Browniano Aritmético, se calcularon los parámetros establecidos en las ecuaciones (31) a (34), bajo el cual se establece que la u es decir el choque al alza, en todos los casos es igual a k tal que k es b t N u m e r o     d e     p e r i o d o s ,     p a r a     t o d o s     l o s     c a s o s = 10     a ñ o s y

mientras que la varianza expresada como ∑ t 2 ‍ se calculó como la varianza de los ingresos de cada una de las empresas y con ello se pudo despejar la constante

Con lo cual se llegaron a los siguientes valores del mercado del capital accionario comportándose como un movimiento Browniano Aritmético (Tabla 4).

Las probabilidades neutrales al riesgo se fueron calculando para cada nodo del árbol como se muestra a continuación:

En la Tabla 4 se muestra el valor de mercado del capital accionario, así como la varianza de los flujos calculada con la ecuación (32).

Se puede observar que el valor de mercado del capital accionario de las empresas bajo el proceso Browniano Aritmético es generalmente inferior, al obtenido a través del proceso Browniano Geométrico.

Una vez calculados los valores de mercado del capital accionario, se dividieron entre el número de acciones en circulación, el cual fue obtenido para cada entidad de la página de la Bolsa Mexicana de Valores en la sección de emisoras. Con ello se puede contrastar cuál modelo es el que brinda la mejor aproximación del valor real cotizado al inicio del mes de abril de 2019; dicho precio se obtuvo de la base de datos de Bloomberg (Tabla 5).

A continuación, se presenta (Imagen 3), la tasa de descuento, los flujos descontados, el importe de la deuda con costo a valor presente, el número de acciones en circulación, el precio de la acción cotizado a febrero de 2019, así como el comparativo de los árboles binomiales del primero de ellos modelado como un MBG y en el segundo escenario como un MBA para Grupo Alsea.

[Figure ID: f3] Imagen 3.

Resultados del Flujo de Efectivo

  —Fuente: Elaboración propia.

Como se puede observar en la Imagen 3, el valor de mercado de la empresa bajo FED es de $77,754 millones de pesos menos el valor presente de la deuda con costo y al dividirlos entre el número de acciones en circulación, se obtiene un precio de $7.748; mientras el precio cotizado a inicio del ejercicio de 2019 es $44.85, de lo cual se puede derivar que hay una gran variación.

A continuación, se muestra el resultado de las Opciones Reales como un Movimiento Browniano Geométrico (Imagen 4).

[Figure ID: f4] Imagen 4.

Resultados de Opciones Reales Movimiento Browniano Geométrico

  —Fuente: Elaboración propia.

Acorde con este modelo, el valor de mercado de Alsea es de $37,470,957,917, considerando las opciones de expansión y contracción, al cual al deducirle la deuda y el flujo de mercado del valor del capital accionario dividido entre el número de acciones en circulación, se llega a que el precio de la acción estimado a inicios del 2019 es de $44.842, tendiendo una diferencia porcentual de únicamente -.081%.

En la Imagen 5 se presentan los resultados de aplicar las Opciones Reales pero modelado el valor de Alsea bajo un proceso Browniano Aritmético.

[Figure ID: f5] Imagen 5.

Resultados de Opciones Reales Movimiento Browniano Aritmético

  —Fuente: Elaboración propia.

Como se puede desprender al aplicar las Opciones Reales con el MBA, existe una mayor complejidad al determinar el valor de los parámetros necesarios para su desarrollo, y al igual que bajo el MBA el valor del precio de la acción es subestimado en un porcentaje muy pequeño; sin embargo, no brinda en más del 50% de los casos el mejor ajuste posible. En el ejemplo de Alsea la subestimación es de -0.66%.

Para que sea más sencillo analizar los resultados, a continuación, en la Imagen 6, se estudiarán las variaciones porcentuales al contrastar los precios cotizados contra los resultantes de cada uno de los modelos.

Como se observa en el Gráfico 1, el modelo que brinda la mayor variación es el de flujos descontados, en la mayor parte de las ocasiones, subestima fuertemente el precio de la acción, excepto en Elektra, Femsa y Fragua (es el valor más alto). Los modelos de Opciones Reales siguiendo los MBG así como los MBA ofrecen resultados muy cercanos a los cotizados, con variaciones pequeñas; no obstante, cabe señalar que brinda una mayor exactitud si se modela como un Movimiento Browniano Geométrico.

[Figure ID: f6] Imagen 6.

Análisis comparativo entre el precio de la acción cotizado por empresa y los derivados de los análisis

  —Fuente: Elaboración propia.

En la Imagen 7 se presenta, cuál de estos últimos dos modelos es el que subestima o sobreestima con mayor frecuencia.

[Figure ID: f7] Imagen 7.

Análisis de la proporción de subestimación y sobre estimación de las Opciones Reales bajo un MBG y un MBA

  —Fuente: Elaboración propia.

De conformidad con los resultados obtenidos, el MBG subestima con mayor frecuencia los precios de las acciones; en contraste el MBA brinda en la mayoría de las ocasiones una sobreestimación. Asimismo, cabe señalar que a pesar de que los valores ofrecidos por ambos modelos son muy cercanos a los precios cotizados, el MBG ofrece un margen de error inferior al determinado mediante un proceso Browniano Aritmético.

Como se puede observar en la Imagen 8, las diferencias porcentuales de mayor magnitud, en valor absoluto se presentan al aplicar el MBA en el 58% de los casos.

[Figure ID: f8] Imagen 8.

Modelo que ofrece un margen de error de mayor magnitud

  —Fuente: Elaboración propia.