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En esta investigación se presenta un modelo alternativo que caracteriza el precio de una opción asiática de venta del tipo europeo con precio de ejercicio variable con media aritmética suscrita sobre una acción cuya volatilidad es estocástica; mediante un sistema de ecuaciones diferenciales que proviene de un modelo de control óptimo estocástico en tiempo continuo. Para tal efecto se desarrolla un modelo de un agente racional que dispone de una riqueza inicial y enfrenta la decisión de distribuir su riqueza entre consumo e inversión en un portafolio de activos, que incluye una opción asiática de venta y europea con precio de ejercicio con media aritmética, en un horizonte temporal finito. La valuación se lleva a cabo en términos del monto que el consumidor está dispuesto a pagar por mantener su contrato de opción asiática a fin de cubrirse contra riesgo de mercado. Asimismo, se aproximan los precios de opciones europeas y asiáticas de compra y venta por simulación Monte Carlo con parámetros calibrados adaptando el modelo de Cox-Ingersoll-Ross con volatilidad realizada. La fórmula de valuación obtenida no se había determinado mediante fundamentos de racionalidad económica. La evidencia empírica señala que los precios son muy cercanos en el corto plazo, pero a largo plazo, la diferencia entre las europeas y las asiáticas aumenta.
This research presents an alternative model that characterizes the price of an European-style Asian put option with variable exercise price with arithmetic average subscribed on an stock whose volatility is stochastic, through a system of differential equations that comes from a model of stochastic optimal control in continuous time. For this purpose, a model of a rational agent is developed that has an initial wealth and faces the decision of distributing its wealth between consumption and investment in a portfolio of assets, which includes an European-style Asian put option with exercise price with arithmetic average, in a finite temporal horizon. The valuation is carried out in terms of the amount that the consumer is willing to pay to maintain its Asian option contract in order to hedge against market risk. Also, prices of European and Asian call and put options are approximated by Monte Carlo simulation with calibrated parameters adapting the Cox-Ingersoll-Ross model with realized volatility. The valuation formula obtained was not determined by fundamentals of economic rationality. The empirical evidence indicates that prices are very close in the short term, but in the long term, the difference between European and Asian prices increases.
Las empresas están expuestas a riesgos que se derivan de las fluctuaciones de los mercados económicos y financieros, ya que influyen directamente en los precios de activos financieros. El cambio generado en estos, puede conducir a ganancias o pérdidas increíblemente altas (
Las opciones plain vanilla son derivados que han alcanzado un gran desarrollo en los mercados estandarizados. La variedad de subyacentes sobre los que se suscribe este tipo de contratos es extensa, a saber, divisas, acciones, índices bursátiles, tasa deinterés, commodities, seguros y energía. Las opciones suelen clasificarse de distintas formas, una de ellas es por el derecho que dan al poseedor del contrato: si el contrato confiere al poseedor de la opción el derecho a comprar el activo subyacente,será una opción de compra también llamada call, pero si el contrato le confiere el derecho a vender el activo subyacente, será una opción de venta también llamada put. Otra clasificación es de acuerdo a la fecha de ejercicio del contrato, es europea si el contrato se ejerce justo al vencimiento de este y americana cuando se puede ejercer en cualquier momento durante la vida del contrato.
Sin embargo, las necesidades específicas de los inversionistas, dieron origen a la creación de las opciones de segunda generación, también conocidas como opciones exóticas, las cuales se negocian principalmente en mercados Over The Counter (OTC). Lasopciones asiáticas pertenecen al grupo de las llamadas opciones exóticas, su nombre se debe a que se comercializaron por primera vez en Tokio en 1987 (
Las opciones asiáticas además de ser de compra o venta, europea o americana, tienen su propia clasificación y esta se da por el tipo de promedio, aritmético o geométrico. Para un análisis de la valuación de opciones asiáticas con promedio geométrico pueden leerse los trabajos de
En lo que concierne a métodos de valuación, se encuentran disponibles en la literatura métodos tanto numéricos como analíticos. Respecto a métodos numéricos, pueden leerse los trabajos de:
Particularmente, el método de simulación de Monte Carlo es utilizado frecuentemente en Finanzas, porque permite encontrar soluciones aproximadas de problemas matemáticos que involucran variables aleatorias dependientes del tiempo (
En lo que a métodos analíticos compete, el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales ha sido recurrentemente utilizado para valuar instrumentos derivados, particularmente opciones. Véanse los trabajos de
De particular mención para esta investigación son los modelos que utilizan métodos mixtos, en la búsqueda de valuación de derivados en escenarios más apegados a la realidad. Un instrumento muy valioso en este rubro es la Teoría de Control Óptimo Estocástico en Optimización Dinámica en tiempo continuo, en este contexto existen modelos Microeconómicos o Macroeconómicos disponibles en la literatura, en los que realizan la valuación de activos financieros y/o instrumentos derivados. Véanse por ejemplo Sierra (2007), Cruz-Aké y Venegas-Martínez (2010),
En la presente investigación el marco de la Teoría de Control Óptimo Estocástico en Optimización Dinámica en tiempo continuo, y en un ambiente de riesgos de mercado, se desarrolla un modelo de un agente económico racional que dispone de una riquezainicial y enfrenta la decisión de cómo distribuir su riqueza entre consumo e inversión en portafolio de activos, uno de ellos una opción asiática de venta suscrita sobre una acción que tiene volatilidad estocástica, de forma tal que maximice su utilidad total esperada por el consumo e inversión, en un horizonte de planeación temporal finito. En el proceso de solución, mediante un sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el modelo para valuar la opción asiática de venta de tipo europeo que tiene precio de ejercicio variable igual a la media aritmética. Para dar solución al modelo, y con el objetivo de un análisis profundo de solución, se establece una metodología mediante simulación Montecarlo en la que se supone que las distribuciones de los precios del subyacente y la volatilidad son conducidos por un movimiento geométrico browniano, la volatilidad del subyacente y sus parámetros se calibran mediante una adaptación del modelo de tasa corta de
En el contexto de las investigaciones mencionadas, las características distintivas del presente trabajo son: 1) Se obtiene una ecuación diferencial parcial equivalente a la ecuación obtenida por Black-Scholes-Merton introduciendo el supuesto de volatilidad estocástica conducida por un movimiento geométrico browniano, 2) La valuación de la opción asiática de venta con promedio aritmético y europea se establece mediante micro fundamentos y 3) Se desarrolla una metodología mediante Simulación Monte Carlo para la valuación de opciones asiáticas de compra y de venta con el supuesto de que la volatilidad es estocástica y conducida por una ecuación diferencial estocástica con reversión a la media, con parámetros calibrados a partir de información de mercado.
Este trabajo está organizado de la siguiente forma, en la siguiente sección se definen los activos de inversión a los que tiene acceso el agente y se establece su representación analítica en el modelo, en la sección 3 se establece la ecuación de riqueza del agente representativo de esta economía, así como el modelo de Control Óptimo Estocástico por resolver. En el transcurso de la sección 4 se proporciona el proceso de solución al problema planteado utilizando programación dinámica estocástica en tiempo continuo y en la cual se obtiene los resultados centrales: i) ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi-Bellman y ii) las condiciones de primer orden, que conducen a las trayectorias óptimas. En la sección 5 se propone una funciónHARA y se da la solución del problema planteado, obteniendo las proporciones óptimas de consumo e inversión. En la sección 6, se deduce la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden equivalente a la de Black-Sholes-Merton, la cual es el modelo mediante el que se valuara una opción asiática de venta del tipo europeo con precio de ejercicio variable media aritmética suscrita sobre una acción cuya volatilidad. En la sección 7 se aproximan los precios de opciones europeas y asiáticas de compra y venta por simulación Monte Carlo con parámetros calibrados adaptando el modelo de Cox-Ingersoll-Ross con volatilidad realizada y su correspondiente análisis de resultados. En la sección 8 se presentan las conclusiones de la presente investigación indicando aquellas extensiones previstas en la agenda futura de trabajo. Por último, se presentan las referencias bibliográficas utilizadas y un Apéndice en el que se dispone en un cuadro los precios obtenidos de opciones europeas de compra y de venta sobre WALMEXV.
Se supone una economía pequeña y cerrada, en la que se comercializa un solo bien de consumo de carácter perecedero. En esta economía existe un sistema bancario o mercado de crédito en el que son posibles las negociaciones de forma continua, es decir,se opera los 365 días del año, las 24 horas del día. En este sistema, las ventas en corto son permitidas e ilimitadas.
Considere a un agente económico racional que desea maximizar el valor presente y futuro esperado por consumo e inversión en una cartera de activos, en un horizonte temporal finito, representado por el intervalo
Se supone que el agente tiene permitido invertir en 3 activos:
1. Un bono cupón cero de precio
2. Una acción cuyo proceso de precios es conducido por la ecuación diferencial estocástica,
que tiene rendimientos,
donde
Se observa que
donde
Con el objetivo de no complicar los cálculos, se supondrá que:
3. El tercer activo es una opción asiática de venta del tipo europeo suscrita sobre la acción dada en la Se define:
En la
El precio de la opción es la función de
la diferencial estocástica
con
Las proporciones de riqueza que se destinan en inversión a los activos riesgosos acción y opción, se denotan mediante
Se supone ahora, que
equivalentemente se tiene,
con
En este apartado se establece formalmente el problema de maximización de utilidad del consumidor-inversionista:
sujeto a
Para dar solución al problema planteado se define la función valor como:
Se considera un incremento diferencial en el tiempo
al aplicar el teorema del valor medio del cálculo integral al primer sumando y recursividad al segundo:
si se utiliza expansión en serie de Taylor en el segundo sumando, se obtiene:
se simplificar la expresión anterior, dado que la suma de dos funciones
En la expresión anterior se aplica el lema de Itô a
ahora, la ecuación obtenida se divide entre dt y se calcula el límite de esta cuando
A esta ecuación deben de imponerse condiciones de frontera para obtener solución única de la EDP-HJB:
Al realizar las sustituciones correspondientes en la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi-Bellman y suponer máximo interior se tiene,
Ahora se supone que la función de utilidad es
La razón económica para usar esta función es que se tiene una utilidad marginal infinita en
Se busca una solución que satisfaga la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi-Bellman y se propone una función de producto de variables separables:
donde
Ahora dado
Al sustituir los valores de
De esta manera se obtiene la función que modela el consumo dada por la
Al suponer la solución de esquina con
En esta sección se describe un sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas que conducen la dinámica de los rendimientos y la volatilidad del activo subyacente, además de una manera de calibrar sus parámetros con datos históricos y de mercado. Se supone que el precio del subyacente y su volatilidad son conducidos movimientos geométricos brownianos con o sin correlación, con la característica de que la ecuación que conduce la volatilidad es con un proceso de tipo CIR, posteriormente se simulan trayectorias del subyacente con la función de pago de la opción y se descuenta con la tasa libre de riesgo el valor final del promedio de las trayectorias. De esta manera se determina el precio de una opción asiática de tipo europea. La simulación de Monte Carlo es muy útil, en especial cuando no se tiene una fórmula cerrada para la valuación.
Una manera de considerar la naturaleza estocástica en los rendimientos de los activos financieros es modelarla por medio de procesos de reversión a la media, como por ejemplo con modelos de volatilidad estocástica de
A continuación, se describe la metodología para determinar el precio de una opción asiática con subyacente promedio sin pago de dividendos mediante simulación Monte Carlo.
Suponga que el precio del subyacente es conducido por un movimiento geométrico browniano con volatilidad estocástica
donde
Si
Los parámetros θ, κ y
Para ejecutar la simulación de ambos procesos se generan trayectorias con una estructura de relación dada por:
con:
Para hacer lo anterior, se calcula dado que
Con las ecuaciones anteriores se generan las trayectorias del sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas planteado en
El precio de una opción de compra con subyacente promedio está dado por la función de pago:
y el precio de una opción de venta con subyacente promedio está dado por:
Si el subyacente es conducido por el sistema dado en
1. Generar
2. Discretizar el sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas como:
donde hace referencia a la k-ésima simulación.
3. Definir la media aritmética de las trayectorias generadas:
4. Calcular el precio de la opción como:
donde denota el número de trayectorias simuladas y el número de precios generados.
En esta sección se calculan por medio de simulación Monte Carlo precios de opciones asiáticas con subyacente promedio, el subyacente es el precio de la acción de WALMEXV y se comparan con los precios de opciones publicadas en el boletín de MexDer deldía 16/05/2018. Se supone que los parámetros de volatilidad estocástica se calculan mediante una adaptación del modelo de CIR al método de volatilidad realizada. La tasa de interés se obtiene de la página de Banxico para los cuatro plazos de las opciones del boletín.
La muestra de la volatilidad realizada para calibrar los modelos comprende del 30 de diciembre de 2016 al 16 de mayo de 2018. Los parámetros estimados con el modelo de CIR mediante máxima verosimilitud se observan en el
Fuente: Elaboración propia.
Parámetros
CIR
κ
2.280414
θ
0.013979
σ
0.002504
No. Obs. n
344
Likelihood Ratio
9.433697
De los resultados del cuadro anterior, se puede verificar que se cumple la condición de Feller, es decir, las trayectorias del proceso que conduce la volatilidad de la volatilidad son siempre positivas. Los resultados de la simulación se muestran en la
La
Se tienen quince precios de ejercicio de los cuales siete están dentro del dinero para opciones de compra y ocho están dentro del dinero para opciones de venta. Se observa que para opciones al plazo de T=30 días en los primeros tres precios de ejercicio, los precios de opciones de compra con subyacente promedio resultaron mayores que los precios publicados por MexDer. Para los plazos de T=128 días y T=219 días solo para el primer precio de ejercicio los precios de opciones de compra son menores en comparación con los precios de las publicadas por MexDer, mientras que para el plazo de T=303 días solamente los dos primeros precios de ejercicio. En cuanto a las opciones de venta el análisis del
En esta investigación se planteó y resolvió un problema de Control Óptimo Estocástico en Optimización Dinámica que modela la toma de decisiones de un consumidor racional quien dispone de una riqueza inicial y enfrenta la decisión de cómo distribuir su riqueza entre consumo y un portafolio de activos en horizonte de planeación finito, de tal forma que maximice su utilidad total esperada por el consumo e inversión. Entre los supuestos del modelo están que el agente puede invertir en una acción con volatilidad estocástica y una opción asiática de venta con precio de ejercicio media aritmética y de tipo europea, cuyas distribuciones respectivas de precios y volatilidad son modeladas por movimientos geométricos Brownianos. Una particularidad de la programación dinámica como herramienta de solución al modelo, es que este se resuelve analíticamente de manera determinista al resolver la EDP de HJB, pero con soluciones estocásticas. Por otra parte en el proceso de solución del modelo, a través de un sistema de ecuaciones diferenciales resultante se deduce una ecuación diferencial parcial de segundo orden equivalente a la de Black-Scholes-Merton con la que se valúa una opción asiática de venta de tipo europeo, con precio de ejercicio variable igual a la media aritmética mediate microfundamentos.
Se hace importante observar que la fórmula alternativa de valuación deducida en este trabajo no estaba disponible en la literatura, mediante fundamentos de racionalidad económica.
Para verificar las ventajas del modelo propuesto se desarrolla una metodología mediante simulación Montecarlo con los siguientes supuestos: la volatilidad del subyacente es estocástica, los parámetros se pueden obtener a partir de la volatilidad del subyacente, el precio del subyacente y la volatilidad
A partir de la volatilidad anualizada se determinaron los parámetros necesarios para la simulación del precio de la opción. Un resultado relevante es que, al comparar los precios de opciones europeas, tanto simulados como con los publicados por el Mercado Mexicano de Derivados con sus contrapartes asiáticas, los precios de opciones asiáticas son muy cercanos en el caso de opciones de compra y de venta dentro del dinero, en el dinero y fuera del dinero para el corto plazo, pero conforme el plazo al vencimiento de la opción se incrementa, la diferencia entre las europeas y las asiáticas aumenta ya que la prima es menor. Lo anterior se debe a que por el supuesto de volatilidad estocástica, la volatilidad del promedio aritmético tiene variaciones menos significativas, lo que genera diferencia en los precios de opciones europeas versus opciones asiáticas y esta diferencia se acentúa más en el largo plazo. Esto muestra que las opciones asiáticas presentan ventaja respecto a las opciones europeas. Para futuras líneas de investigación se plantea extender la valoración de opciones de tipo asiático con promedio geométrico, tasa de interés y/o volatilidad estocástica y de tipo americana, y en un contexto microeconómico y/o macroeconómico.
WALMEXV CallEur
WALMEXV PutEur
Average Price Call WALMEXV
Average Price Put WALMEXV
WALMEXV Call MexDer
WALMEXV Put MexDer Fuente: elaboración propia.
Días por vencer
K
T=30
43.00
6.6795
0.0084
6.6711
0.0000
6.55
0.04
44.00
5.7025
0.0270
5.6755
0.0000
5.58
0.05
45.00
4.7451
0.0627
4.6824
0.0000
4.62
0.09
46.00
3.8335
0.1455
3.6881
0.0000
3.71
0.16
47.00
3.0005
0.3027
2.6979
0.0000
2.87
0.28
48.00
2.2495
0.5455
1.7040
0.0000
2.13
0.51
49.00
1.5975
0.8889
0.7086
0.0000
1.50
0.88
50.00
1.0942
1.3778
0.0000
0.2837
1.00
1.41
51.00
0.6905
1.9700
0.0000
1.2795
0.62
2.10
52.00
0.4320
2.7033
0.0000
2.2713
0.36
2.92
53.00
0.2583
3.5218
0.0000
3.2635
0.20
3.82
54.00
0.1372
4.3938
0.0000
4.2567
0.10
4.77
55.00
0.0727
5.3230
0.0000
5.2503
0.04
5.75
56.00
0.0316
6.2785
0.0000
6.2469
0.02
6.75
57.00
0.0126
7.2531
0.0000
7.2405
0.01
7.74
T=128
43.00
7.7754
0.1894
7.5860
0.0000
7.54
0.37
44.00
6.8738
0.2745
6.5993
0.0000
6.66
0.49
45.00
6.0490
0.4102
5.6388
0.0000
5.83
0.66
46.00
5.2784
0.6110
4.6674
0.0000
5.06
0.87
47.00
4.5288
0.8363
3.6925
0.0000
4.35
1.14
48.00
3.8609
1.1378
2.7232
0.0000
3.71
1.47
49.00
3.2295
1.4843
1.7452
0.0000
3.13
1.87
50.00
2.7113
1.9292
0.7821
0.0000
2.60
2.34
51.00
2.1980
2.3924
0.0000
0.1944
2.14
2.89
52.00
1.8082
2.9705
0.0000
1.1622
1.73
3.51
53.00
1.4488
3.5853
0.0000
2.1365
1.38
4.22
54.00
1.1066
4.2259
0.0000
3.1194
1.08
5.00
55.00
0.8612
4.9531
0.0000
4.0919
0.82
5.85
56.00
0.6678
5.7269
0.0000
5.0591
0.61
6.77
57.00
0.5220
6.5537
0.0000
6.0317
0.44
7.74
T=219
43.00
8.7163
0.2790
8.4372
0.0000
8.41
0.72
44.00
7.8539
0.3805
7.4734
0.0000
7.56
0.91
45.00
7.0615
0.5362
6.5252
0.0000
6.76
1.13
46.00
6.2975
0.7293
5.5682
0.0000
6.02
1.40
47.00
5.6160
0.9829
4.6331
0.0000
5.33
1.71
48.00
4.9236
1.2546
3.6691
0.0000
4.70
2.06
49.00
4.2585
1.5509
2.7076
0.0000
4.12
2.47
50.00
3.6920
1.9329
1.7591
0.0000
3.59
2.92
51.00
3.2505
2.4245
0.8260
0.0000
3.11
3.43
52.00
2.7192
2.8654
0.0000
0.1461
2.67
4.00
53.00
2.3132
3.4016
0.0000
1.0884
2.27
4.63
54.00
1.9343
3.9833
0.0000
2.0490
1.92
5.32
55.00
1.6394
4.6302
0.0000
2.9908
1.60
6.07
56.00
1.4280
5.3496
0.0000
3.9216
1.32
6.89
57.00
1.1344
6.0310
0.0000
4.8966
1.07
7.78
T=303
43.00
9.5529
0.3415
9.2115
0.0000
9.09
1.01
44.00
8.7188
0.4483
8.2705
0.0000
8.21
1.22
45.00
7.9275
0.5974
7.3301
0.0000
7.39
1.47
46.00
7.1563
0.7685
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0.0000
6.65
1.76
47.00
6.4727
1.0086
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0.0000
5.97
2.09
48.00
5.7095
1.2094
4.5001
0.0000
5.36
2.45
49.00
5.1154
1.5330
3.5824
0.0000
4.81
2.86
50.00
4.5535
1.9042
2.6493
0.0000
4.31
3.32
51.00
4.0360
2.3063
1.7296
0.0000
3.85
3.83
52.00
3.5232
2.7333
0.7899
0.0000
3.43
4.38
53.00
3.0799
3.2252
0.0000
0.1454
3.03
4.99
54.00
2.6983
3.7734
0.0000
1.0751
2.66
5.64
55.00
2.2494
4.2830
0.0000
2.0336
2.32
6.36
56.00
1.9166
4.8858
0.0000
2.9692
1.99
7.12
57.00
1.6792
5.5651
0.0000
3.8859
1.69
7.94
